Diffrun – Námsefni

Þegar við skoðum myndir af ferlum sem við höfum skoðað í þessu námsefni þá eru þeir mjúklega dregnir og ekki með neinum hvössum hornum. Ef við hugsum okkur að við drögum línu í gegnum einn einstakan punkt á línunni þannig að rétt kyssi línuna án þess að skerast í gegnum hana þá kallast slík lína snertill við ferilinn í þessum punkti p.

Á myndinni hér fyrir neðan er dreginn mjúkur ferill í bláum lit og appelsínugulur snertill við línuna í punktinum p. Til þess að skilgreina línu eins og þennan snertil þurfum við einn punkt á línunni í þessu tilfelli punktinn p og síðan hallatölu línunnar. En hvernig reiknum við út hallatölu hennar?

Það gerum við með því að gera það sem kallað er að diffra jöfnuna fyrir feril fallsins.

Til þess að finna þessa hallatölu þá hugsum við okkur að við skoðum lítinn part af línunni og hugsum okkur línu sem sker ferilinn í tveimur punktum Q = (xo,f(xo)) og R = (xo+h,f(xo+h)). Síðan hugsum við okkur að bilið milli þessara punkta minnki og minnki þannig að h verði minna og minna þar til þessir tveir punktar eru óendanlega nálægt hvor öðrum. Græna línan á myndinni nálgast því smátt og smátt að hafa sömu hallatölu og snertillinn appelsínuguli. Köllum hallatölu snertilsins H, þá verður hallatala hans:

Fall er sagt vera diffranlegt ef ofangreint markgildi er til og er þetta markgildi eða diffurkvótinn kallað f‘(xo) sem er þá hallatala ferilsins í punktinum (xo,f(xo)) og þar með hallatala snertilsins í þeim punkti.

Diffurkvóti falla

Ekki verður farið út í það að sanna diffurkvóta fyrir föll en það er gert með því að reikna út markgildi út frá:

Þeir sem hafa gaman af markgildum geta æft sig í þeim með því að leiða út eftirfarandi diffurkvóta.

Reiknireglur um diffrun

Ef föllin f, g og h eru difranleg í xo þá eru föllin kf þar sem k er fasti og f ´g diffranleg í xo.

  1. (kf)‘(xo) = kf‘(xo)
  2. (f + g)´(xo) = f´(xo) + g´(xo)
  3. (f∙g)‘(xo) = f´(xo) ∙ g´(xo)
  4. (f∙g∙h)‘ = ((fg)h)‘ = (fg)´h + (fg)h‘ = (f‘g + fg´)h + fgh‘ = f‘gh +  fg´h + fgh‘
  5. (f/g)‘(xo) = (f‘(xo)g(xo) – f(xo)g´(xo))/(g2(xo))
  6. f(x) = tan(x) => f´(xo) = 1 + tan2(xo) = 1/(cos2(xo)
  7. Samsetta fallið f(g(x)) hefur diffurkvótann f´(g(xo)∙g´(xo)

 Sýnidæmi

Útgildi – hágildi – lággildi

Skoðum aðeins nánar hvað diffurkvóti í ákveðnum punkti getur sagt okkur um útlit falla.

Við vitum að diffurkvóti í ákveðnum punkti gefur okkur hallatölun í ákveðnum punkti. Hvaða ályktun getum við dregið af því þegar hallatalan er 0 í einhverjum ákveðnum punkti. Jú það þýðir að snertillinn er láréttur. Eina leiðin til að hallatala á ferli sé núll með láréttan snertil er að um hágildi eða lággildi sé að ræða á ferlinum. Hágildi og lággildi köllum við einu nafni útgildi.

Skoðum í þessu ljósi tvo ferla sem við vitum að hafa útgildi nefnilega cosinus og sinusfallið sem sveiflast á milli útgildanna sinna 1 og – 1.

Sýnidæmi – cosinusfallið

Við rifjum upp að cosinus fallið hefur hágildi x = 1 í x = 0 og lággildi í ± .

Staðreynum að halltalan sem við reiknum út frá diffurkvótanum staðfesti þetta.

Ef f(x) = cos(x) er f´(x) = – sin(x) og f´(0) = – sin(0) = 0 og f‘(±  = – sin(±  svo að hallatalan er 0 í útgildunum en hvernig vitum við hvort um hágildið eða lággildi er að ræða ef við þekkjum ekki útlitið á fallinu sem við erum að skoða.

Það finnum við út með því að skoða gildi fyrir diffurkvótann sitt hvoru megin við útgildi.

Gott er að setja þetta upp í töflu:

Sýnidæmi – sinusfallið

Skoðu sinusfallið með sama hætti og cosinusfallið.

Diffrun, ferilteikningar og hagnýt not

Eins og minnst hefur verið á, þá gefa hallatölur snertla við ferla í punktum á ferlinum  til kynna hvernig ferillinn hallar og þar sem hallatalan er 0 þá er snertillinn láréttur og á ferlinum er um svokallað útgildi að ræða. Útgildi geta bæði verið hágildi og lággildi.

Ef við skoðum feril á ákveðnu bili þá er aðeins um eitt hæsta og lægsta gilda en það geta verið nokkur útgildi á bilinu. Ef við erum að skoða feril á ákveðnu bili þurfum við að skoða gildin í endapunktunum og öll útgildi til að ákveða hvað er hæst og lægsta gildið á ferlinum á bilinu.

Ferillinn á myndinn er með hæsta gildi í endapunktinum x1 og lægsta gildi í x4 í lággildinu. Snertlar útgildanna í punktunum x2, x3 og x4 eru sýndir í grænum, rauðum og bláum lit og við sjáum að hallatala þeirra allra er 0 þar sem þeir eru allri lágréttir.

Áður en maður teiknar upp feril getur verið gott að gera sér grein fyrir formi hans með því að finna útgildin og sjá á hvaða bilum ferillinn er vaxandi eða minnkandi. Einnig er vert að gera sér grein fyrir formengi fallsins og hvort að ferillinn er hugsanlega ekki skilgreindur í einhverjum punkti eins og til dæmis fyrir ferilinn 1/x sem er að sjálfsögðu ekki skilgreindur í x = 0 og þar er y – ásinn lóðfella og x – ásarnir lágfellur. Sá ferill hefur hins vegar engin útgildi því afleiðan af 1/x er -1/x2  sem getur aldrei tekið gildið 0, en getur komist óendanlega nálægt því eftir því sem x stækkar, þess vegna er x – ásinn aðfella.

Rifjum upp mynd af þessu falli og snertlum í tveimur punktum þessa ferils.

Það að fall sé óskilgreint í einhverjum punkti er oft táknað með gríska bókstafnum ξ

Annars stigs margliða

Skoðum almenna forskrift annars stigs margliðu f(x) = ax2 + bx + c við þekkjum þennan feril vel og vitum að hann hefur aðeins eitt útgildi sem getur annað hvort verið hágildi eða lággildi eftir því hvort að a > 0 eða hvort a < 0.

Prófum það hvar við finnum topppunkt ferilsins með því að diffra og skoða hvenær afleiðan er 0:

f´(x) = 2ax + b og f´(x) = 0 jafngildir því að 2ax + b = 0 eða x = -b/2a eins og við vorum áður búin að sjá með öðrum aðferðum.

Reiknum út y hnitið fyrir útgildið og fáum

f(-b/2a) = a(-b/2a)2 + b(-b/2a) + c = b2/4a – b2/2a + c = -(b2 – 4ac)/4a = -d/4a

þar sem d = b2 – 4ac sem við höfum kallað greini.

Topp- eða botnpunktur fleygbogans sem annarsstigs margliðan lýsir er því T= (-b/2a, -d/4a) eins og við vorum áður búin að sjá með öðrum aðferðum.

Ferilteikning

Notum nýfengna þekkingu til þess að skoða feril fallsins f(x) = (2x2 – 1)/(x – 1)

Það er strax augljóst að ferillinn er ekki skilgreindur fyrir x = 1 og það er þá lófella fyrir ferilinn.

Þar sem veldisvísirinn fyrir ofan strik er hærri en fyrir neðan strik er ferillinn líklega með skáfellu. Deilum (x – 1) upp í (2x2 – 1)  og fáum: f(x) = 2x + 2 + 1/(x – 1)

Þetta má sjá með því að fara í gegnum deilinguna

Við vitum því nú að fyrir þennan feril erum við með lóðfellu í x = 1 og skáfelluna y = 2x + 2 það hjálpar okkur mjög við að teikna ferilinn.       

Könnunum nú hvort að það eru einhver útgildi, á ferlinum og hvernig halli hans er á milli útgildanna.

Það gerum við með því að diffra fallið svo að við getum skoðað hallatölu ferilsins:

f(x) = 2x + 2 + 1/(x – 1) = f(x) = 2x + 2 + (x – 1)-1

f´(x) =  2 -1(x -1) -2(1) = 2 – 1/(x – 1)2.

Afleiðan er ekki frekar en upprunalega fallið skilgreint í x = 1 en könnum hvenær f´(x) =  0 til að finna útgildin:

2 – 1/(x – 1)2 = 0 jafngildir því að 2 = 1/(x – 1)2 eða 2(x – 1)2 = 1 svo að 2x2 – 4x + 2 = 1 eða

2x2 – 4x + 1 = 0 finnum rætur þessarar annarsstigs margliðu og fáum:

x = (4 ±(16 – 8)1/2)/4 = 1 ± (1/2) ½

Prófum lausnirnar:

f(1 + (1/2) ½ ) = 2(1 + (1/2) ½)2 – 4(1 + (1/2) ½) + 1 = 2(1 + 2(1/2) ½ + 1/2) – 4 – 4(1/2) ½ + 1

                         = 2 + 4(1/2) ½ + 1 – 4 – 4(1/2) ½ + 1 = 0

f(1 – (1/2) ½ ) = 2(1 – (1/2) ½)2 – 4(1 – (1/2) ½) + 1 = 2(1 – 2(1/2) ½ + 1/2) – 4 + 4(1/2) ½ + 1

                         = 2 –  4(1/2) ½ + 1 – 4 + 4(1/2) ½ + 1 = 0

Teiknum nú upp töflu eins og sýnd hefur verið áður sem sýir gili afleiðinnar og hvort fallið er vaxandi eða minnkandi á bilunum sem afmarkast af lófellu og útgildum.

f´(x) = 2 – 1/(x – 1)2 svo að og f(3) = 2 – 1/4 = 1,75 > 0

f´(0) = 2 – 1 = 1 > 0  f´(1,1) = 2 – 1/(-0,1)2 = 2 – 100 = – 99

1 – (1/2) ½ = 0,292, skoðum f´(1/2) sem er aðeins stærra og liggur milli 1 – (1/2) ½ og 1 og fáum:

f‘(1/2) = 2 – 1/(1/4) = 2 – 4 = -2 < 0

x = 1 – (1/2) ½  gefur því hágildi og x = 1 + (1/2) ½ gefur lággildi.

Með því að horfa á töfluna sjáum við gróflega fyrir okkur form ferilsins.

Teiknum nú fallið, lóðfellu þess og lágfellu inn í hnitakerfið og sjáum hvernig fallið lítur út.

Hagnýt not af diffrun

Diffrun kemur að góðum notum til þess að finna til dæmis hagkvæmustu og óhagkvæmustu lausnir í ýmsum verkefnum á sviði viðskiptafræði eða hagfræði.

Ef við getum lýst rekstri á fyrirtæki með jöfnu sem er hlutfall af til dæmis framleiðslueiningum, þá er hægt að finna hagkvæmasta fjölda eininga með því að diffra jöfnuna með tilliti til framleiðslueininganna og finna útgildi sem vonandi væri þá hágildi.

Dæmi 1

Skoðum rétthyrning með hliðarlengdir b og l og hugsum okkur að við viljum spara girðingarefni og velja svæði til að girða af þannig að við þurfum sem minnst girðingarefni en fáum sem mest flatarmál innan girðingarinna. Girðingin utan um svæðið hefur sömu lengd og ummál svæðisins U = 2b + 2l og flatarmálið F = b∙l, til þess að geta fundið útgildi fyrir flatarmálið þurfum við að vera aðeins með eina breytistærð en við getum umskrifað jöfnuna fyrir U þannig að l = ½ U – b og stungið þessu inn í flatarmálsjöfnuna og fáum F(b) = b(1/2 U – b) = -b2 + ½ Ub sem er jafna fleygboga sem er með arma sem snúa niður þar sem stuðullinn við annað veldið er neikvæður. Útgildið gefur því hágildi.

Við gætum notað þekkingu okkar á fleygbogum til að finna útgildið en nú ætlum við að diffra flatarmálið með tilliti til b og fáum:

F‘(b) = -2b + ½ U og finnum hvenær þetta gefur 0. Þ.e.a.s. hvenær ½ U = 2b en þá er b = ¼  U

Ef skemmri hliðin á ferningnum á að vera ¼ af ummálinu eru tvær skammhliðar jafnar ½

ummáli svo að þá er ½ ummál eftir fyrir hliðarnar 2l svo þá er l líka ¼ U.

Skoðum þetta stærðfræðilega við stingu b =1/4 U inn í jöfnuna fyrir ummálið og fáum:

U = 2(1/4U) + 2l eða að U – ½ U = 2L svo að 1/2U = 2l svo l = ¼ U

Ef að allar hliðar eru jafn langar ¼ U er rétthyrningurinn okkar ferningur meða allar hliðar fjórðung af ummálinu.