Hornaföll – Námsefni

Cosinus og sinus

Hugsum okkur hring með radíus af lengd 1. Köllum þenna hring einingahring. Hugsum okkur síðan vigur af lengd 1 sem á upphafspunkt í (0,0) og endapunkta á sjálfum hringnum í punktinum (1,0) eins og blái vigurinn á næstu mynd sínir.

Ef við snúum þessum vigri í heilan hring myndi oddurinn á honum snerta einingahringinn alla leið. Við gætum því hugsað okkur að örin á vigrinum teikni upp einingahring punkt fyrir punkt með því að snúa svona ör í heilan hring í kringum upphafspunkt hnitakerfinsins (0,0). Hver einasti punktur á einingahringnum hefur x – hnit og y – hnit. Þessi hnit hafa einnig verið skilgreind sem

x = cos(v) og y = sin(v) Þar sem v er hornið sem myndast á milli vigursins og x – ás.

Skoðum gildin á cosinus og sinus út frá nokkrum v sem 0°, 90°, 180°, 270° og 360°= 0°

v cos(v) sin(v)
1 0
90° 0 1
180° -1 0
270° 0 -1
360° 1 0

Hugsum okkur nú 4 vigra sem eru hornréttir hver á annan og mynda allir 45° horn við ása hnitakerfisins (sjá bláu vigrana á næstu mynd).  Fyrsti vigurinn í fyrsta fjórðungi hringsins myndar 45°horn við x – ás, næsti blái vigur myndar 135° horn, sá þriðji 225°C og sá síðasti 315° horn eða – 45°.

Skoðum nú hvernig x – hnit (appelsínugular línur) og y – hnit (grænar línur) varpast á ása hnitakerfisins. Við sjáum 8 rétthyrnda þríhyrninga sem allir eru með bláa vigurinn sem langhlið. Allir bláu vigrarnir mynda 45°horn á milli sín og ása hnitakerfisins. Hornasumma þríhyrnings er 180° og því er hornið milli oddanna á vigrunum og grænu og appelsínugulu línanna er einnig 45°þar sem hin tvö hornin eru 90°og 45°. Hornasumma þríhyrnings er 180° og 180°- 90°- 45° = 45°.

Allir þríhyrningarnir á myndinni eru því jafnarma og við vitum að langhliðin í þeim hefur lengdina 1. Köllum lengd grænu skammhliðanna x og við vitum að appelsínugula skammhliðin er jafnlöng af því þríhyrningarnir eru jafnarma og köllum hana því líka x. Vitum að

Skoðum núna vigur sem myndar 30° horn við x ás og síðan samskonar vigra í hinum fjórðungunum þremur. Allir þríhyrningarnir sem myndast eru rétthyrndir eins og áður en nú er þriðja hornið í þeim 60° því við vitum að hin tvö eru 30°og 90°.  

Ef við horfum á rauða þríhyrninginn sem afmarkast af tveimur vigrum sem mynd 30° horn og – 30° horn við x – ás, þá er ljóst að þetta er jafnarma þríhyrningur með allar hliðar jafnlangar, þ.e.a.s. með hliðarlengdir 1.  Því við vorum áður búin að ákvarða þriðja hornið í litlu 30° þríhyrningunum sem 60°. Lárétti x ásinn skiptir lóðréttu línunni í jafnarma þríhyrningnum því nákvæmlega í tvennt. Það þýðir að y – hnit litla þríhyrningsins er helmingurinn af 1 eða ½. Við þekkjum því y – hnit vigranna og getum notað píþagóras til að reikna út x – hnitin.

Skoðum að lokum vigra sem mynda ± 60° horn við x – ás. Á nákvæmlega sama hátt og fyrir vigrana sem mynduðu ± 30° horn við x – ás verður til jafnhliða þríhyrngur með öllum hornum 60°C og hliðarlengdum 1. Nú helmingar y – ás láréttu hliðina sem

Ef að við tökum þessar staðreyndir saman og horfum á þær á einum einingahring, Lítur þetta út eins og næsta mynd sýnir.

Ef að við horfum á þessa mynd eða töfluna hér fyrir neðan verða eftirfarandi reglur nokkuð augljósar ef vel er að gáð. Sannfærið ykkur um að þær séu réttar.

  1. cos(-v) = cos(v)
  2. sin(-v) = – sin(v)
  3. cos(180°- v) = – cos(v)
  4. sin(180°- v) = sin(v)
  5. cos(v + 180°) = – cos(v)
  6. sin(v + 180°) = – sin(v)
  7. cos(90°- v) = sin(v)
  8. sin(90°- v) = cos(v)
  9. cos(v + 90°) = – sin(v)
  10. sin(v + 90°) = cos(v)
  1.  

Ef við stillum þessu upp í einni töflu verður munstrið nokkuð ljóst.

Þegar búið er að snúa heilan hring endurtekur mynstrið sig.

Tangens og kótangens

Stærðirnar tangens og kótangens eru stærðir sem samsvara hlutföllunum á milli sinus og cosinus fyrir hvert horn í einingahringnum.

Þar sem það má aldrei með núlli deila er:

 tan(v) ekki til fyrir cos(v) = 0 og

cot(v) er ekki til fyrir sin(v) = 0.

Ef við notum okkur þá vitneskju að

  1. cos(-v) = cos(v)
  2. sin(-v) = – sin(v)

Þá verður jafnframt augljóst að:

  1. tan(-v) = – tan(v) ef við stingum jöfnum 1 og 2 inn í jöfnuna fyrir tan(v)
  2. cot(-v) = – cot(v) ) ef við stingum jöfnum 1 og 2 inn í jöfnuna fyrir cot(v)

Þetta getið þið prófað sjálf.

Hallatala vigurs og tan(v)

Þar sem hlutfallið á milli x – hnita og y – hnita vigurs gefur halla tölu h = y/x og cos(v) er x – hnit vigurs og sin(v) er y – hnit vigurs er tan(v) hallatala vigurs með stefnuhornið v.

Ef að við þekkjum hallatölu vigurs, þá þekkjum við tangens af horninu sem vigurinn myndar við x – ás.

Grundvallarreglur hornafalla

Þar sem cos(v) og sin(v) eru skammhliðar í rétthyrndum þríhyrningi með langhlið af lengdinni einn þá gildir í samræmi við píþagórasarreglu að:

  1. cos2(v) + sin2(v) = 1

Það er einnig nokkuð augljóst að:

  • cot(v) = 1/tan(v) og þar með er tan(v) = 1/cot(v)

Ef að við deilum í gegnum jöfnu 1 hér að ofan með cos2(v) fáum við eina reglu í viðbót

  • 1 + tan2(v) = 1/cos2(v)

Ef við deilum með sin2(v) í jöfnu 1 fáum við

  • cot2(v) + 1 = 1/sin2(v) eða 1 + cot2(v) = 1/sin2(v)

Þessar reglur má umrita og leysa fyrir cos(v) og sin(v) og þá fáum við:

Sumureglur hornafalla

  1. cos(u – v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)
  2. cos(u + v) = cos(u)cos(v) – sin(u)sin(v)
  3. sin(u – v) = sin(u)cos(v) – cos(u)sin(v)
  4. sin(u + v) = sin(u)cos(v) + cos(u)sin(v)

Hægt er að sanna allar þessar reglur en það verður ekki gert hér.

Hornaföll af tvöföldu horni

  1. cos(2v) = cos2(v) – sin2(v)
  2. cos(2v) = 2cos2(v) -1
  3. cos(2v) = 1 – 2sin2(v)       
  4. sin(2v) = 2sin(v)cos(v)     

Stefnuhorn vigurs

Vasareiknar

Allir vasareiknar sem almennt eru notaðir í menntaskólastærðfræði geta reikna cosinus, sinus, tangens og cotangens fyrir hvaða horn sem er en það getur komið sér vel að þekkja gildin sem sýnd hafa verið á teikningunum.

Á vasareiknum eru takkar sem heita sin, cos og tan sem hægt er að nota til að reikna hornaföll fyrir mismunandi horn. Ef þú þekkir sinusinn, cosinusinn eða tangensinn en vantar hronið notar þú Shift takkan efst til vinstri og velur þar með sin-1, cos-1 eða tan-1.

Þríhyrningaregla

Skoðum rétthyrnda þríhyrning með hornpunktana A, B og C, þar sem hornið C er 90°. Köllum langhliðina c og hliðina beint á móti hornpunktinum A köllum við a og hliðina beint á móti hornpuntinum B köllum við b.

Fyrir hvassa hornið v sem er með upphafspunkt í A er a mótlæg skammhlið við hornið, af því hún liggur beint á móti horninu og b er aðlæg skammhlið fyrir hornið A.

Þá gilda eftirfarandi reglur um rétthyrnda þríhyrninga miðað við hvassa hornið v:

  1. cos(v) = b/c = (aðlæg skammhlið)/langhlið
  2. sin(v) = a/c = (mótlæg skammhlið)/langhlið
  3. tan(v) = sin(v)/tang(v) = (a/c)/(b/c) = (a/c)∙(c/b)= a/b = (mótlæg skammhlið)/aðlægri skammhlið

Þessi regla er mikið notuð í eðlisfræðinnar og því er mikilvægt fyrir þá sem vilja ná góðum tökum á henni að skilja þessa reglu.

Bogamál og ferlar hornafalla

Gröf hornafalla

Eins og fyrir öll önnur gröf þurfum við að reikna út nokkra punkta á ferlunum til að geta teiknað þá upp.  Þegar við teiknum upp gröf hornafalla setjum við bogalengdina (radíanana) á x – ás og síðan gildi fallanna á y – ás. Þá er ekkert því til fyrirstöðu að fara fleiri en einn hring í bogamálum.

Skoðum gildi hornafallanna cosinus og sinus í bogamálum:

Ef við teiknum upp cosinus og sinusföllun fyrir horn frá -2π til  2π þá líta þau svona út eins og næsta mynd sýnir. Bæði föllin sveiflast í fallegri bylgju milli -1 og 1 en á þeim er svokallaður fasamunur upp á π/2, þar sem sinusfallið nær toppgildi sínu π/2 á eftir cosinus.

Þetta bylgjuform er kallað sinusbylgja og þetta form er formið að riðstraum sem framleiddur er og fluttur heim í hús til fólks. Riðstraumssveiflan í riðstraum er svo hröð að hún sveiflast 50 heilar bylgjur á sekúndu. Það er kallað 50 Hz eða 50 rið.

Ef við horfum á föllin saman á einu grafi þá líta þau svona út.