Lograföll

Lograr eða logritmar eru margskonar. Algengast er að tala um svokallaðan tíulogra eða logra með grunntölu 10. Þetta er skrifað log(x). Logrinn er sá veldísvísir sem setja þarf á grunntöluna 10 til þess að talan x komi út. Þannig er log(100) =2 því við þurfum að setja veldisvísinn 2 á 10 til að fá út 100.

log(10) =1

log(100) = 2

log(1000) = 3

log(10.000) = 4

log(100.000) = 5

log(1000.000) = 6

En tugabrot hafa einnig logra:

log(0,1) = -1

log(0,01) = -2

log(0,001) = -3

Þannig að ef

y = logx ó 10y =x

En lograr geta haft hvaða grunntölu sem er og tilað tákna logra með grunntölu 2 er skrifað log2(x) = y.

Ef grunntalan er ekki tekin fram sérstaklega er átt við logra með grunntöluna 10.

Skoðum logra með grunntöluna 2.

log2(2) = 1

log2(4) = 2

log2(8) = 3

log2(16) = 4

log2(32) = 5

log2(64) = 6

log2(1/2) = -1

log2(1/4) = -2

log2(1/8) = -3

Teiknum upp logra- og vísiföll

Formengið fyrir logra eru allar pósitífar rauntölur því ekki er hægt að setja neinn veldísivísi á tölu þannig að út komi neikvæð tala.

Skoðum föllin

f(x) = 2x

g(x) = log2(x)

h(x) = (1/2)x

i(x) = log1/2(x)

Reiknum út nokkur gildi og teiknum síðan föllin upp

x 2x log2(x) (1/2)x log1/2(x)
-4 0,0625 16,0000
-3 0,1250 8,0000
-2 0,2500 4,0000
-1,5 0,3536 2,8284
-1 0,5000 2,0000
-0,5 0,7071 1,4142
0 1,0000 1,0000
0,01 1,0070 -6,6439 0,9931 6,6439
0,05 1,0353 -4,3219 0,9659 4,3219
0,1 1,0718 -3,3219 0,9330 3,3219
0,2 1,1487 -2,3219 0,8706 2,3219
0,4 1,3195 -1,3219 0,7579 1,3219
0,6 1,5157 -0,7370 0,6598 0,7370
0,8 1,7411 -0,3219 0,5743 0,3219
1 2,0000 0,0000 0,5000 0,0000
2 4,0000 1,0000 0,2500 -1,0000
3 8,0000 1,5850 0,1250 -1,5850
4 16,0000 2,0000 0,0625 -2,0000

Föllin f(x) og g(x) eru spegilmynd af hvort öðru og sama gildir um föllin h(x) og i(x) en þau speglast um línun y = x.

Eins og sjá má að gröfum fallanna er formengi logra falla R+ og varpmengið er allt rauntölumengið R.

Lograföllin eru vaxandi ef grunntalan a er stærri en 1 og þau er minnkandi ef grunntalan a er á milli 0 og 1.

loga(1) = 0

Það skiptir engu máli hver grunntalan a er því ef þú segur veldisvísinn 0 á einhverja tölu þá færðu ávallt út 1.

loga(a) = 1

Eðli málsins samkvæmt er logri með grunntölu a af a ávallt 1, því eini veldisvísirinn sem hægt er að setja á töluna a þannig að útkoman verði talan a er veldisvísirinn 1.  Það er algerlega óhæð því hvaða tala a er.

Fyrir tíma öflugra vasareikna var mikilvægt að geta notað logra til útreikninga með stórar tölur og reiknireglur fyrir logra.

Náttúrulegi logrinn

Einn logri hefur fengið sérstakt nafn og tákn, hann kallast náttúrulegi logrinn og er með grunntöluna e og hann er ritaður ýmist sem ln(x) eða loge(x).

Fyrir þennan logra gildir allt það sama og fyrir aðra logra þar sem

ln(x) = y ó x = ey

Það sem er sérstakt fyrir náttúrulega logrann er að jafna línunnar y = x – 1 snertir feril fallsins í punktinum (1,0) en fyrir andhverfu þessa falls y = ex, snertir línan y = x + 1 ferilinn í punktinum (0,1).

Við skulum skoða þetta myndrænt.

Reiknum nokkur gildi fyrir föllin:

f(x) = ex

g(x) = ln(x)

h(x) = x + 1

i(x) = x

j(x) = x – 1

Setjum gildin upp í töflu og teiknum síðan föllin

x f(X) = ex g(x) = ln(x) h(x) = x+1 i(x) = x j(x) = x-1
-4 0,0183 -3,0000 -4,0000 -5,0000
-3 0,0498 -2,0000 -3,0000 -4,0000
-2 0,1353 -1,0000 -2,0000 -3,0000
-1,5 0,2231 -0,5000 -1,5000 -2,5000
-1 0,3679 0,0000 -1,0000 -2,0000
-0,5 0,6065 0,5000 -0,5000 -1,5000
0 1,0000 1,0000 0,0000 -1,0000
0,01 1,0101 -4,6052 1,0100 0,0100 -0,9900
0,05 1,0513 -2,9957 1,0500 0,0500 -0,9500
0,1 1,1052 -2,3026 1,1000 0,1000 -0,9000
0,2 1,2214 -1,6094 1,2000 0,2000 -0,8000
0,4 1,4918 -0,9163 1,4000 0,4000 -0,6000
0,6 1,8221 -0,5108 1,6000 0,6000 -0,4000
0,8 2,2255 -0,2231 1,8000 0,8000 -0,2000
1 2,7183 0,0000 2,0000 1,0000 0,0000
2 7,3890 0,6931 3,0000 2,0000 1,0000
3 20,0855 1,0986 4,0000 3,0000 2,0000
4 54,5980 1,3863 5,0000 4,0000 3,0000

Það er augljóst að þessi tvö föll ex og ln(x) speglast um línuna y = x.

Reiknireglur fyrir logra

Reiknireglur fyrir logra gera meðferð á stórum tölum mun einfaldari

1. loga(xy) = loga(x) + loga(y)         – margföldun verður að samlagningu

2. ln(xy) = ln(x) + ln(y)                    – sama gildir um náttúrulega logrann

3. loga(x/y) = loga(x) – loga(y)        – deiling verður að frádrætti

4. ln(x/y) = ln(x) – ln(y)                   – sama gildir um náttúrulega logrann

5. loga(xr) = r loga(x)                        – vísifall verður að margföldun

6. ln(xr) = rln(x)                                 –  sama gildir um náttúrulega logrann

7. 10log(x) = x                                      – 10 í veldi af logra af tölu er talan sjálf

8. eln(x) = x                                          – sama gildir að sjálfsögðu um náttúrulega logrann og alla aðra logra

9. log(10y) = y                                   – logrinn af 10 í einhverju veldi er að sjálfsögðu sjálft veldið

10. ln(ey) = y                                     – sama gildir að sjálfsögðu um náttúrulega logrann og alla aðra logra

Sýnidæmi

  1. 10x = 4
  2. ex = 2
  3. 4x = 64
  4. log4(x) = 3

Notum logra reglurnar og kunnáttu okkar við að leysa jöfnur til að finna x.

  1. 10x = 4

Ef við gerum nákvæmlega það sama við báðar hliðar jöfnu höfum við engu breytt.

Tökum logrann af báðum hliðum í fyrstu jöfnunni.

log(10x) = log(4)

Notum síðan lograreglu nr. 6 og fáum:

x∙log(10) = log(4)

En log(10) er einn svo að í raun erum við að leysa jöfnuna:

x = log(4)

sem er nákvæmasta lausnin en má námunda með því að reikna log(4) sem er u.þ.b. 0,602

ex = 2

Leysum þessa jöfnu með sambærilegum hætti nema nú er hentugra að nota náttúrulega logran ln þar sem ln(e) = 1. Fáum

ln(ex) = ln(2)

Notum lograreglu 6 aftur og fáum:

x∙ln(e) = ln(2)

eða

x = ln(2)

þar sem ln(e) = 1

Þetta er nákvæmasta lausnin en síðan má námunda hana með því að reikna út ln(2) með vasareikni.

4x = 64 notum sömu aðferðafræði og fyrr og tökum log af báðum hliðum

log(4x) = log(64) ó x∙log(4) = log(64) ó x = log(64)/log(4) sem síðan má reikna út með vasareikni og fá út að x = 3.

Þetta er nákvæm niðurstaða sem sumir kunna að hafa áttað sig á sem eru með fargföldunartöflun á hreinu því 43 = 4∙4∙4 = 16∙4 = 64.

log4(x) = 3

Hér notum við veldareglu og hefjum báða hliðar jöfnunnar upp í veldi af grunntölu lograns sem hér er 4. Það gerum við af því þá verður 4log4(x) = x samkvæmt veldareglu 7.

4log4(x) = 43

Vinstri hlið jöfnunnar verður hreinlega að x

x = 43

sem við vitum að eru 64 þannig að lausn þessarar jöfnu er

x = 64