Ójöfnur af fyrsta stigi

Til þess að leysa ójöfnur þarf að vera búið að ná fullu valdi á því að leysa jöfnur. Lausn á ójöfnum er svipuð en þó örlítið flóknari og fleira sem maður þarf að passa sig á.

Skoðum fyrst allra einföldustu gerðir af ójöfnum sem aðeins eru með þekktum stærðum og skoðum þær á talna línu.

Dæmi 1

x > 5  (lesið sem x er stærra en 5) Þetta þýðir að x getur verið hvaða tala sem er sem er stærri en talan 5 en x getur ekki verið talan 5. Til dæmis getur x verið 5,00000000000000000001 og allar tölur sem eru ofurlítið stærri en talan 5. Þetta táknum við á talnalínu með því að setja hring utan um töluna fimm og merkja svæðið á talnalínunni sem er hægra megin við töluna 5.

Dæmi 2

x < 5 (lesið sem x er minna en 5) Þetta þýðir að x getur verið hvaða tala sem er sem er minni en talan 5 en getur ekki vrið talan 5. Til mæmis getur x verið 4,999999999999999999999 og allar tölur sem eru ofrulítið minni en talan 5. Þetta táknum við á talnalínum með því að setja hring utan um tönuna 5 og merkja svæðið á talnalínunni sem er vinstra megin við töluna 5.

Dæmi 3

Skoðum nú hvað gerist ef við breytum tákninu í ≥ og hvaða merkingu x ≥ 5 (lesið sem x stærra eða jafnt og fimm) hefur. Þetta þýðir að x getur verið hvaða tala sem er stærri en fimm en líka talan 5. Þetta táknum við á talanlínu með því að setja fylltan hring ofan á töluna fimm og merkja svæðið á talnalínunni sem er hægra megin við töluna 5. Fyllti hringurinn þýðir að talan 5 er einnig með.

Dæmi 4

Að lokum skulum við skoða hvað gerist ef við breytum tákninu í ≤ og hvaða merkingu x ≤ 5 (lesið sem x minna eða jafnt og fimm) hefur. Þetta þýðir að x getur verið hvaða tala sem er minni en fimm en líka talan 5. Þetta táknum við á talanlínu með því að setja fylltan hring ofan á töluna fimm og merkja svæðið á talnalínunni sem er hægra megin við töluna 5. Fyllti hringurinn þýðir að talan 5 er einnig með.

Flækjum nú málið aðeins og bætum við óþekktum stærðum.

Þetta er einfaldast að sýna með dæmum og nú byrja málin aðeins að flækjast.

Það sem er nýtt við ójöfnur er regla sem ekki má gleyma.

Ef margfaldað eða deilt er með neikvæðri tölu í ójöfnu snýst ójöfnumerkið við

Dæmi 5

Skoðum einfaldleg dæmi með tölum á talnalínunni.

Ójafnan 5 > 3 er sönn fullyrðing (yrðing).

Ef við margföldum með -1 í gegnum þessa ójöfnu og trúum fullyrðingunni að þá snúist ójöfnumerkið við fáum við nýja ójöfnu:

-5 < -3 sem er líka sönn fullyrðing (yrðing).

Skoðum þetta á talnalínunni

Þegar horft er á talnalínuna virðist það nokkuð augljóst að ef margfaldað er í gegnum ójöfnu með neikvæðri tölu þá snýst ójöfnumerkið vil.

Það má alltaf líta á deilingu með einhverri tölu x sem margföldun með tölunni 1/x. Að deila með neikvæðri tölu x í ójöfnu er því eins og að margfalda með neikvæðu tölunni 1/x og þar með snýst ójöfnumerkið við eins og áður.

Dæmi 6

Skoðum ójöfnuna 4 < 8 og deilum í ójöfnuna með -4 og fáum þá: -1 > -2 sem stemmir alveg eins og sjá má þegar horft er á talnalínuna.

Dæmi 7

2 + x  < 2x – 3 Við byrjum á því að safna óþekktu stærðunum saman öðru megin við ójöfnumerkið og fáum: 2 + 3 < 2x – x eða 5 < x sem gefur sömu lausn á talanlínunni og annað dæmið sem við skoðuðum þar sem 5 < x er jafngilt því að x > 5:

Hér er vert að skoða að ef við söfnum x – unum vinstra megin við ójöfnumerkið fáum við

x – 2x < -3 -2 eða -x < -5.

Við getum séð að með því að færa -5 til vinstri en – x til hægri fáum við eins og áður 5 < x eða

x > 5.

Hins vegar ef við ætlum að deila í gegnum ójöfnuna með -1 verðum við að athuga að þá snýst ójöfnumerkið við og við fáum eins og áður x < 5.

Lausnarmengi þessarar ójöfnu er því {x | x < 5} sem lesið er mengi þeirra óþekktu stærða x þar sem x er minna en 5.

Það er ágætis regla að prófa lausnir á ójöfnum, þar sem hægt er að falla í ýmsar gildrur við lausn þeirra eins og að gleyma að ójöfnumerkið snýst við þegar deilt er með neikvæðri tölu.

Við prófun á lausnum, setur maður lausn inn í upphaflegu ójöfnuna. Skoðum x = 6 sem er sannarlega stærra en 5. Ef sett er 6 inn í upphaflegu ójöfnuna fáum við: 2 + 6 < 12 – 3 eða 8 < 9 sem stemmir.

Ef við prófum að setja 5 inn í ójöfnuna sem er stærsta talan sem á ekki að gefa lausn fæst:

2 + 5 < 10 – 3 eða að 7 < 7 sem stenst ekki enda átti 5 ekki að vera lausn. Við höfum því leyst ójöfnuna rétt.

Það er ágætis æfing í því að sjá þetta fyrir sér með því að teikna upp lausnarmengi og prófa að setja nokkrar tölur í lausnarmenginu inn í upphaflegu ójöfnuna.

Dæmi 8  

8x – 5 > 11x + 7 söfnum x – unum saman vinstra megin og þekktu tölunum hægra megin og fáum: 8x – 11x > 7 + 5 eða -3x > 12. Hér verðum við að passa okkur að þegar við deilum með -3 í gegnum ójöfnuna snýst ójöfnumerkið við og við fáum: x < – 4.

Lausnarmengi þessarar ójöfnu er því {x | x < -4}

Sannreynum þessa lausn og setjum til dæmis x = -5 inn í ójöfnuna og fáum: -40 – 5 > -55 + 7 eða -45 > -48 sem er alveg rétt enda  er -5 minna en -4.

Prófum hins vegar að setja inn töluna -4 sem er minnsta talan sem er of stór til að vera hluti af lausnarmeginu og fáum: -32 – 5 > – 44 + 7 eða að -37 > – 37 sem er ekki satt enda er -4 ekki hluti af lausnarmenginu.

Það er ágætis æfing í því að sjá þetta fyrir sér með því að teikna upp lausnarmengi og prófa að setja nokkrar tölur í lausnarmenginu inn í upphaflegu ójöfnuna.

Dæmi 9

17x – 7 < 2x + 8 söfnum eins og fyrr x – unum saman vinstra megin og þekktu tölunum hægra megin og fáum: 17x – 2x < 8 + 7 eða 15x < 15 sem jafngildir því að x < 1 sem sést þegar búið er að deila í gegnum ójöfnuna með 15.

Lausnarmengi þessarar ójöfnu er því {x | x < 1}

Við getum prófað lausnina á  ójöfnunni með því að setja 0 í staðinn fyrir x sem sannarlega er minna einn og þá fáum við að -7 < 8 sem stemmir.

Ef við setjum 1 inn í ójöfnuna fáum við hins vegar  að 17 – 7 < 2 + 8 eða að 10 < 10 sem stemmir ekki.

Ef upphaflega verkefnið hefði verið að leysa ójöfnuna 17x – 7 ≤ 2x + 8 þá hefði lausnin verið x ≤ 1 og þar með hefði 1 verið hluti af lausnarmegni jöfnunnar og lausnin verið allar tölur minni en eða sama sem 1.

Skoðum ójöfnu af fyrsta stigi með tveimur breytistærðum

Dæmi 10

Ójafnan y > x + 1 segir að lausnin séu allir þeir punktar í hnitakerfinu sem liggja fyrir ofan línuna

y = 2x + 5. Línan y = 2x + 5 er ekki hluti af lausninni.

Skoðum lausn á þessari ójöfnu á mynd.

Ljósbláa svæðið sýnir lausnina á ójöfnunni y > 2x + 5. Langhliðin í þríhyrningnum er línan y = 2x + 5 en sú lína er ekki hluti af lausnarmenginu enda er hún sýnd sem punktalína á myndinni. En allt skyggða svæðið er það á myndinni og út í hið óendnanlega fyrir ofan línuna.

Ef jafnan hefði verið y ≥ 2x + 5 hefði punktalínan verið með og það væri þá sýnt með heilli línu.

Hér fellur ljósblái þríhirningurinn ofan í heilu línuna y = 2x + 5 sem er hluti af lausninni á ójöfnunni

y ≥ 2x + 5.

Dæmi 11

Á sama hátt má sýna lausnir á ójöfnunum y < 4x – 6 og y ≤ 4x – 6 myndrænt.

Hér má sjá á mynd lausn á ójöfnunni y < 4x – 6 en það er allt ljósbláa skyggða svæðið undir punktalínunnu y = 4x – 6 sem telst ekki með í lausninni af því að lausnin er allt sem liggur undir punktalínunni.

Hér er sýnd myndrænt lausn ójöfnunnar y ≤ 4x – 6 en það eru öll gildi sem liggja á eða undir línunni

y = 4x – 6 og hér tilheyrir  línan lausnarmenginu eins og sjá má á heilu dökkbláu línunni sem fellur saman við skyggða ljósbláa svæðið.