Ójöfnur af öðru stigi – Æfing 4 – Lausnir

  1. 2x2 + x – 6 > 0

Byrjum á því að finna skurðpunkta jöfnunnar 2x2 + x – 6 = 0 við x – ás og reiknum

D = 1 – 4∙2∙(-6) = 1 + 48 = 49 = 72

Skurðpunktar fleygbogans við x – ás eru því: x = (-1 ± 7)/4  eða x = -2 eða x = 3/2

Þar sem stuðullinn A er pósitífur snýr fleygboginn með arma upp og hefur botnpunkt á samhverfuásnum x = -1/4 og botnpunkturinn er þá með y – hnit:

y = 2∙(-1/4)2 + ¼ – 6 = -1/8 + ¼ – 6 = (-1 + 2 – 48) /8 = -47/8 = – 5,875

Botnpunkturinn er því (1/4 , -5,875).

Ójafnan sem á að leysa varðar öll gildi sem liggja fyrir ofan x – ás.

Þar sem fleygboginn snýr með arma upp er lausnin á þessari ójöfnu öll gildi sem liggja hægra megin við skurðpunktinn x = 3/2 á x – ás og öll gildin sem liggja vinstra megin við skurðpunktinn x = -2. Þetta sést glögglega ef mynd af fleygboganum er skoðuð.

Lausnarmengið er því:

L = { x │ -2 < x og x > 3/2 = 1,5}

 

  1. -3x2 + 9x – 6 > 0

Byrjum aftur á því að skoða skurðpunkta við x – ás fyrir fleygbogann f(x) = y = -3x2 + 9x – 6 og leysum jöfnuna:

-3x2 + 9x – 6 = 0

Byrjum á því að deila í gegnum jöfnuna með -3 og fáum x2 – 3x + 2 = 0. Reiknum D og fáum:

D = 9 – 4∙(1)∙2 = 1 svo skurðpunktarnir eru x = (3 ± 1)/2 eða x = 1 eða x = 2.

Þar sem lausnirnar eru svona einfaldar hefði einnig mátt sjá þær með því að reyna að þátta í huganum  þar sem nokkuð augljóst er að x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1).

Þar sem fleygboginn f(x) = y = -3x2 + 9x – 6 er með A stuðulinn minni en núll hefur fleygboginn arma sem snúa niður og topppunkt á samhverfuásnum x = -9/(-6) = 3/2 = 1,5

y – hnit topppunktsins er því:

y = -3∙ (3/2)2 + 9∙(3/2) – 6 = -27/4 + 27/2 – 6 = (-27 + 54 -24)/4 = (27 – 24)/4 = ¾ = 0,75

Hnit topppunktsins eru því (3/2,3/4).

Svæðið sem liggur fyrir ofan x – ás er því lausnarmengi ójöfnunnar, þ.e.a.s. svæðið milli x = 1 og x = 2

 

Lausnarmengið er því:

L = { x │ 1 < x < 2}

 

  1. -4x2 + 9x + 6 ≤ 0

Skoðum skurðpunkta fleygbogans f(x) = -4x2 + 9x + 6 við x – ás með því að leysa jöfnuna

-4x2 + 9x + 6 = 0. Reiknum út D og fáum:

D = 81 – 4(-4)(6) = 81 + 96 = 177 svo skurðpunktarnir við x – ás eru: x = (-9 ± (177)1/2)/(-8)

Þar sem stuðullinn A er neikvæður snýr fleygboginn með arma niður og lausnarmengið liggur hægra megin við pósitífa skurðpunktinn á x – ás og vinstra megin við þann neikvæða að skurðpunktunum meðtöldum þar sem um ≤ er að ræða.

Samhverfuásinn fyrir fleygbogann er x = -9/(-8) = 9/8 og y hnit topppunktsins er

y = -4(9/8) + 9(9/8) + 6 = (-36 +81 + 48)/8 = 93/8.

Hnit topppunkts fleygbogans eru því (9/8, 93/8)

Lausnarmengið er því:

L = { x │ (-9 + (177)1/2)/(-8) ≤ x og x ≥ (-9 ± (177)1/2)/(-8)}

Hér þarf að gæta sín á því að deilt er með neikvæðri tölu og þess vegna er neikvæða rótin af 177 hægra megin í lausnarmenginu þar sem:

(-9 ± (177)1/2)/(-8) ~ 2,8 en

(-9 + (177)1/2)/(-8) ~ – 0,5

 

 

 

  1. 5x2 + 10x – 15 ≤ 0

Byrjum á að leysa jöfnuna 5x2 + 10x – 15 = 0. Deilum í gegnum jöfnuna með 5 og fáum:

x2 + 2x – 3 = 0. Þetta er auðvelt að þátta (x – 1)(x + 3) = 0.

Skurðpunktar þessarar jöfnu við x – ás eru í x = -3 og x = 1 eins og augljóslega má sjá á mynd af fleygboganum.

Samhverfuásinn er x = -10/10 = -1 og þar sem stuðullinn A er pósitífur snúa armar þessa fleygboga upp og y hnit botnpunkts er: y = 5(-1)2 + 10(-1) – 15 = 5 – 10 – 15 = – 20 sem einnig er augljóst þegar fleygboginn er skoðaður á mynd. Botnpunkturinn er því ( -1, -20).

Lausnarmengi ójöfnunnar 5x2 + 10x – 15 ≤ 0 er því sá hluti fleygbogans f(x) = 5x2 + 10x – 15 sem liggur fyrir neðan x – ás og það eru tölurnar sem liggja á milli x = -3 og x =1 að þeim meðtöldum.

Með öðrum orðum er lausnarmengið L:

L = {x │ -3 ≤ x ≤ 1}