Ójöfnur af öðru stigi

Til þess að geta  leyst  annars stigs ójöfnu er nauðsynlegt að kunna að leysa annars stigs jöfnu þ.e.a.s. jöfnu á forminu Ax2 + Bx + C = 0 og að geta teiknað fleygboga sem er ferill á forminu y = Ax2 + Bx + C.

Byrjum á því að skoða nokkra fleygboga og síðan ójöfnur tengdar þeim.

Blár fleygbogi f(x) = 2x2 – 4x + 25

Blái fleygboginn er f(x) = 2x2 – 4x + 25 eða y =  2x2 – 4x + 25. Stuðullinn A í þessum fleygboga er póstífur og fleygboginn snýr með arma upp. Ef við reiknum út D fyrir jöfnuna 2x2 – 4x + 25 = 0 fáum við að

D = 16 – 4*2*25 = 16 – 200 = -196

svo jafnan hefur enga lausn, enda snertir fleygboginn ekki x – ás og hefur því enga skurðpunkta við x – ás.

Ójafnan 2x2 – 4x + 25 > 0 er því sönn fyrir öll gildi á x. Lausnarmengið fyrir þessa ójöfnu væru því öll x eða L = {x │x ∈ R}.

Samhverfuásinn fyrir þenna fleygboga er x = -B/2A = -4/(-4) = 1 og y hnit botnpunkts er því

f(1) = 2 – 4 + 25 = 23.

Hnit botnpunkts fleygbogans er því punkturinn (1, 23). Fleygboginn liggur því allur fyrir ofan y = 23.

Allar ójöfnur á forminu 2x2 – 4x + 25 > P þar sem P er stærri en 23 hafa því sama lausnarmengið, þ.e.a.s. öll gildi x eða L = {x │x ∈ R}.

Ef að við veljum hins vegar gildi á P þar sem P er stærri tala en 23, þá verðum við að finna skurðpunkta láréttu línunnar y = P og fleygbogans og öll hnit sem liggja fyrir ofan P tilheyra þá lausnarmengi ójöfnunar.

Skoðum til dæmis 2x2 – 4x + 25 > 31. Þá erum við í rauna að skoða hvaða x gildi gefa hnit á fleygboganum sem liggja fyrir ofan láréttu línuna y = 31 ( sjá rauðu línuna á myndinni).

Færum 31 yfir jafnaðarmerkið og fáum: 2x2 – 4x + 25 – 31 > 0

Eða                                                                    2x2 – 4x – 6 > 0

Deilum í gegnum ójöfnuna með 2 og fáum x2 – 2x – 3 > 0

Þáttum og fáum                                             (x – 3) (x + 1) > 0

Skurðpunktar láréttu línunnar y = 31 og fleygbogans eru þar sem

x = 3 eða x = -1 skurðpunktarnir hafa hnitin (3, 31) og (-1, 31) þessir skurðpunktar tilheyra ekki lausnarmengi ójöfnunnar en allir punktar hægra megin við x = 3 og vinstra megin við x = -1 tilheyra lausnarmenginu.

Lausnarmengið er því:

L = {x ∈ R │x < -1 eða x > 3 }.

Ef upprunalega ójafnan hefði verið 2x2 – 4x + 25 ≥ 31 þá eru skurðpunktarnir með og lausnarmengið og lausnarmengið væri þá:

L = {x ∈ R │x ≤ -1 eða x ≥ 3 }.

Lausnarmengið gætum við einnig sýnt á x – ás með því að draga hring um tölurnar -1 og 3 og merkja ásana hægra megin við 3 og vinstra megin við -1.

Grár fleygbogi f(x) = 3x2 – 30x + 48

Grái fleygboginn er f(x) = 3x2 – 30x + 48 eða y =  3x2 – 30x + 48. Stuðullinn A í þessum fleygboga er póstífur og fleygboginn snýr með arma upp. Ef við reiknum út D fyrir jöfnuna 3x2 – 30x + 16 = 0 fáum við að

D = 900 – 4*3*48 = 900 – 576 = 324

svo jafnan hefur lausn og fleygboginn hefur tvo skurðpunkta við x – ás eins og myndin sýnir.

Reiknum út skurðpunktana og fáum

x = (30 ± (324)½)/(2*3) = (30/6 ± (324/36) ½)= 5 ± (9) ½ = 5 ± 3

svo skurðpunktar við x ás eru annars vegar 2 og hins vegar 8 eins og glöggt má lesa af grafinu.

Ójafnan 2x2 – 4x + 25 > 0 er því ekki sönn fyrir öll gildi á x.

Lausnarmengið fyrir þessa ójöfnu væru því öll x sem liggja vinstra megin við 2 og hægra megin við 8 eða L = {x ∈ R │x < 2 eða x > 8}.

Samhverfuásinn fyrir þenna fleygboga er x = -B/2A = 30/6 = 5 og y hnit botnpunkts er því

f(5) = 3*25 – 30*5 + 48 = 75 – 150 + 48 = – 27.

Hnit botnpunkts fleygbogans er því punkturinn (5,-27). Fleygboginn liggur því allur fyrir ofan y = -27 að y = -27 meðtöldum.

Allar ójöfnur á forminu 3x2 – 30x + 48 > P þar sem P er stærri en -27 hafa því sama lausnarmengið, þ.e.a.s. öll gildi x eða L = {x │x ∈ R}.

Ef að við veljum hins vegar gildi á P þar sem P er stærri tala en -27, þá verðum við að finna skurðpunkta láréttu línunnar y = P og fleygbogans og öll hnit sem liggja fyrir ofan P tilheyra þá lausnarmengi ójöfnunar.

Skoðum til dæmis 3x2 – 30x + 48 > 48. Þá erum við í rauna að skoða hvaða x gildi gefa hnit á fleygboganum sem liggja fyrir ofan láréttu línuna y = 48 ( sjá bláu línuna á myndinni).

Færum 48 yfir jafnaðarmerkið og fáum: 3x2 – 30x + 48 – 48 > 0

Eða                                                                    3x2 – 30x > 0

Deilum í gegnum ójöfnuna með 3 og fáum x2 – 10x > 0

Þáttum og fáum                                             x(x – 10) > 0

Skurðpunktar láréttu línunnar y = 48 og fleygbogans eru þar sem

x = 0 eða x = 10

skurðpunktarnir hafa hnitin (0,48) og (10,48) þessir skurðpunktar tilheyra ekki lausnarmengi ójöfnunnar en allir punktar hægra megin við x = 10 og vinstra megin við x = 0 tilheyra lausnarmenginu.

Lausnarmengið er því: L = {x ∈ R │x < 0 og x > 10 }.

Ef upprunalega ójafnan hefði verið 3x2 – 30x + 48 ≥ 48 þá eru skurðpunktarnir með og lausnarmengið væri þá L = {x ∈ R │x ≤ 0 og x ≥ 10 }.

Gulur fleygbogi f(x) = -4x2 – 12x + 16

 

Guli fleygboginn er f(x) = -4x2 – 12x + 16 eða y =  -4x2 – 12x + 16. Stuðullinn A í þessum fleygboga er negatífur og fleygboginn snýr með arma niður. Ef við reiknum út D fyrir jöfnuna -4x2 – 12x + 16 = 0 fáum við að

D = 144– 4*(-4)*16 = 144 + 256 = 400

svo jafnan hefur lausn og fleygboginn hefur tvo skurðpunkta við x – ás eins og myndin sýnir.

Reiknum út skurðpunktana og fáum

x = (12 ± (400)½)/(2*(-8)) = (12 ± 20)/(-16)

gefur x =  32/(-8) eða x = -8/(-8)  svo skurðpunktar við x ás eru annars vegar -4 og hins vegar 1 eins og glöggt má lesa af grafinu.

Ójafnan -4x2 – 12x + 16 > 0 er því ekki sönn fyrir öll gildi á x. Lausnarmengið fyrir þessa ójöfnu væru því öll x sem liggja vinstra megin við 1 og hægra megin við -4 eða

L = {x ∈ R │x < 1 og x > 4}.

Þetta er sá hluti x – ás sem liggur á milli arma fleygbogans af því að nú snýr fleygboginn niður og aðeins toppurinn á fleygboganum sem liggur fyrir ofan x – ás samsvarar lausnarmengi ójöfnunar.

Samhverfuásinn fyrir þenna fleygboga er x = -B/2A = 12/(-8) = -3/2 = -1,5 og y hnit topppunkts er því

f(-3/2) = -4*(9/4) –12*(-3/2) + 16 = -9 + 18 + 16 = 25

Hnit topppunkts fleygbogans er því punkturinn (-3/2,25). Fleygboginn liggur því allur fyrir neðan

y = 25 að y = 25 meðtöldum.

Allar ójöfnur á forminu -4x2 – 12x + 16 < P þar sem P er stærra en 25 hafa því sama lausnarmengið, þ.e.a.s. öll gildi x eða L = {x │x ∈ R}.

Ef að við veljum hins vegar gildi á P þar sem P er minni tala en 25, þá verðum við að finna skurðpunkta láréttu línunnar y = P og fleygbogans og öll hnit sem liggja fyrir neðan P tilheyra þá lausnarmengi ójöfnunar.

Skoðum til dæmis -4x2 – 12x + 16 > -24. Þá erum við í rauna að skoða hvaða x gildi gefa hnit á fleygboganum sem liggja fyrir ofan láréttu línuna y = -24 (sjá bláu línuna á myndinni).

Færum -24 yfir jafnaðarmerkið og fáum: -4x2 – 12x + 16 + 24 > 0

Eða                                                                    -4x2 – 12x + 40 > 0

Deilum í gegnum ójöfnuna með -4 og fáum x2 + 3x – 10 < 0 og athugið að ójöfnumerkið snýst við af því deilt er með neikvæðri tölu.

Þáttum og fáum                                             (x – 2)(x + 5) < 0

Eða ef við sjáum ekki í gegnum þáttunina þá má reikna D = 9 – 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49

Þá fáum við að x = (-3 ± 7)/2 sem gefur x = 2 eða x = -5 sem er sama niðurstaða og þáttunin gefur.

Skurðpunktar láréttu línunnar y = 48 og fleygbogans eru þar sem

x = 2 eða x = -5 skurðpunktarnir hafa hnitin (2, -24) og (-5, -24)

þessir skurðpunktar tilheyra ekki lausnarmengi ójöfnunnar en allir punktar milli x = -5 og x = 2 tilheyra lausnarmenginu.

Lausnarmengið er því: L = {x ∈ R │-5 < x < 2 }.

Þetta samsvarar öllum punktum á fleygboganum sem liggja fyrir ofan – 24

Ef upprunalega ójafnan hefði verið -4x2 – 12x + 16 ≥ -24 þá eru skurðpunktarnir með og lausnarmengið væri þá L = {x ∈ R │-5  ≤ x ≤ 2 }.

Appelsínugulur fleygbogi f(x) = -2x2 – 4x – 50

 

Appelsínuguli fleygboginn er f(x) = -2x2 – 4x – 50 eða y =  -2x2 – 4x – 50. Stuðullinn A í þessum fleygboga er negatífur og fleygboginn snýr með arma niður.

Reiknum út D fyrir jöfnuna

-2x2 – 4x – 50 = 0

og fáum að

D = 16 – 4*(-2)*(-50) = 16 – 400 < 0 svo jafnan hefur enga lausn og fleygboginn hefur enga skurðpunkta við x – ás eins og myndin sýnir .

Ójafnan -2x2 – 4x – 50 > 0 er því ekki sönn fyrir nein gildi á x. Lausnarmengið fyrir þessa ójöfnu væri tómamengið því öll gildi liggja fyrir neðan x – ás eða L = Ø.

Samhverfuásinn fyrir þenna fleygboga er x = -B/2A = 4/(-4) = -1 og y hnit topppunkts er því

F(-1) = -2*(-1) – 4*(-1) – 50 = 2 + 4 – 50 = 6 – 50 = – 44

Hnit topppunkts fleygbogans er því punkturinn (-1, -44). Fleygboginn liggur því allur fyrir neðan

y = -44 að y = -44 meðtöldum.

Allar ójöfnur á forminu -2x2 – 4x – 50 > P þar sem P er stærra en -44 hafa því sama lausnarmengið fyrir öll gildi á x eða L = Ø.

Ef að við veljum hins vegar gildi á P þar sem P er minni tala en -44, þá verðum við að finna skurðpunkta láréttu línunnar y = P og fleygbogans og öll hnit sem liggja fyrir neðan P tilheyra þá lausnarmengi ójöfnunar.

Skoðum til dæmis -2x2 – 4x – 50 > – 60. Þá erum við í rauna að skoða hvaða x gildi gefa hnit á fleygboganum sem liggja fyrir ofan láréttu línuna y = – 60 (sjá bláu línuna á myndinni).

Færum – 60 yfir jafnaðarmerkið og fáum: -2x2 – 4x – 50 + 60 > 0

Eða                                                                    -2x2 – 4x + 10 > 0

Deilum í gegnum ójöfnuna með -2 og fáum x2 + 2x – 5 < 0 og athugið að ójöfnumerkið snýst við af því deilt er með neikvæðri tölu.

Reiknum D = (4 – 4*(1)*(-5)) = 24 og x = (4 ± (24)½)/2 = (4 ± 2(6)½)/2

eða x = (2 ± (6)½)

Skurðpunktar láréttu línunnar y = -60 og fleygbogans eru því óræð gildi og tilheyra ekki lausnarmengi ójöfnunnar en allir punktar hægra megin við x = 2 og vinstra megin við x = -5 tilheyra lausnarmenginu.

Lausnarmengið er því: L = {x ∈ R │(2 – (6)½)  < x < (2 + (6)½)  }.

Ef upprunalega ójafnan hefði verið -4x2 – 12x + 16 ≥ -24 þá eru skurðpunktarnir með og lausnarmengið væri þá

L = {x ∈ R │(2 – (6)½)  ≤ x ≤ (2 + (6)½)   }.