Tölugildi – Námsefni

Tölugildi rauntalna

Til að upprifjunar þá eru rauntölur allar tölur á talnalínunni bæði pósitífar og negatífar.

Tölugildi er táknað með tveimur lóðréttum strikum │x│ sitt hvoru megin við rauntöluna x.

Skoðum tölugildi ýmissa rauntalna

│2│ = 2

│-2│ = 2

│5│ =5

│-5│ = 5

│3,14│ = 3,14

│-3,14│ = 3,14

│0,009│ = 0,009

│-0,009│= -0,009

│0│ = 0

Það má því hugsa sér að þegar búið er að setja tölugildismerki utan um tölu sé verið að spyrja um fjarlægð tölunnar frá núllpunktinum á talnalínunni.

Fallið f(x) = │x│

Berum saman föllin f(x) = │x│  og g(x) = x

Reiknum út nokkur gildi fyrir föllin og teiknum þau upp í grafi

x f(x) = │x│ g(x) = x
-10 10 -10
-9 9 -9
-8 8 -8
-7 7 -7
-6 6 -6
-5 5 -5
-4 4 -4
-3 3 -3
-2 2 -2
-1 1 -1
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10

Eins og sjá má gefa f(x) og g(x) sömu gildi þegar x er póstíft en f(x) er eins og g(x) speglað um x ás, því öll gildi falla sem eru römmuð inn af tölugildismerkinu gefa pósitíf gildi.

Skoðum fleiri tölugildisföll

g(x) = │x – 5│ 

h(x) = │x + 5│ 

j(x)  = │x – 1│ 

k(x)  = │x + 1│ 

Reiknum nokkur gildi fyrir föllin og teiknum þau upp í graf

Eins og við mátti búast líta þessi föll öll eins út nema hvað búið er að hliðra þeim ýmist til vinstri eða hægri um 1 eða 5.

g(x) tekur gildið 0 í x = 5 sem er rót þess sem er innan tölugildismerkisins og sama gildir um hin föllin. Þau eru öll eins og v í laginu en sitja með oddinn á x – ás þar sem rótin í tölugildinu er.

Prófum nú að hliðra einu af þessum föllum bæði upp og niður og sjáum hvað gerist. Skoðum föllin:

m(x) =│x + 1│+ 5 

n(x) = │x + 1│ – 5

p(x) = │x – 1│+ 2

q(x) = │x + 1│ – 2

Reiknum út nokkra punkta fyrir föllin og berum þau saman á grafi við fallið f(x) = │x│

Skoðum nú gröf þessara falla

Eins og sjá má er form þeirra allra eins, þau eru eins og V í laginu en það er búið að hliðra fallinu

f(x) = │x│upp og niður um 2, -2, 5 og -5.

Fallið f(x) = │x2

Þar sem x2 er ávallt pósitíft breytir það engu að setja tölugildi utan um þetta fall. Skoðum nokkur gildi fyrir annars vegar f(x) = │x2│ og hins vegar g(x) = x2

x f(x) = │x2│  g(x) = x2
-5 25 25
-4 16 16
-3 9 9
-2 4 4
-1 1 1
0 0 0
1 1 1
2 4 4
3 9 9
4 16 16
5 25 25

Bæði föllin sýna sama fleygbogann

Hliðrum nú þessum fleygboga niður fyrir x – ás og skoðum föllin

h(x) = │ x2 – 3│

i(x) = │ x2 – 5│

j(x) = │ x2 – 7│ Reiknum út nokkra punkta fyrir föllin og skoðum þau

x h(x) = │ x2 – 3│ i(x) = │ x2 – 5│ j(x) = │ x2 – 7│
-4 13 11 9
-3,5 9,25 7,25 5,25
-3 6 4 2
-2,7 4,29 2,29 0,29
-2,64575 4 2 0
-2,6 3,76 1,76 0,24
-2,3 2,29 0,29 1,71
-2,23607 2 0 2
-2,2 1,84 0,16 2,16
-1,8 0,24 1,76 3,76
-1,73205 0 2 4
-1,7 0,11 2,11 4,11
-1,3 1,31 3,31 5,31
-1 2 4 6
-0,5 2,75 4,75 6,75
0 3 5 7
0,5 2,75 4,75 6,75
1 2 4 6
1,5 0,75 2,75 4,75
1,7 0,11 2,11 4,11
1,732051 -4,44089E-16 2 4
1,8 0,24 1,76 3,76
2,2 1,84 0,16 2,16
2,236068 2 -8,88178E-16 2
2,3 2,29 0,29 1,71
2,4 2,76 0,76 1,24
2,5 3,25 1,25 0,75
2,6 3,76 1,76 0,24
2,645751 4 2 -8,88178E-16
2,7 4,29 2,29 0,29
3 6 4 2
3,5 9,25 7,25 5,25
4 13 11 9

Nákvæmu gildin eru kvaðratrætur af rótum fallanna til þess að fá fram punktana þar sem fallið sest á x – ás og sá hluti fleygboganna sem hefði farið niður fyrir x – ás speglast um ásinn þar sem tölugildið leyfir aðeins pósitífar útkomur.

Fallið f(x) = │x3

Þar sem formerki gildis fallsins x3 er ávallt hið sama og gildi x þá gefur fallið f(x) = │x3│ aðra niðurstöðu en g(x) = x3.

Berum þessi tvö föll saman með því að reikna nokkur gildi fyrir föllin og teiknað þau upp.

x f(x) = │x3 g(x) = x3
-6 216 -216
-5 125 -125
-4 64 -64
-3 27 -27
-2 8 -8
-1 1 -1
0 0 0
1 1 1
2 8 8
3 27 27
4 64 64
5 125 125
6 216 216

Þegar x > 0 þá falla ferlar fallanna algerlega saman en þegar x < 0 þá speglast g(x) ferillinn um x – ásinn.

Hliðrum nú þessu falli aðeins upp og niður.

h(x) = │x3 – 2│

i(x) = │x3 + 2│

j(x) =│x3 – 4│

k(x) =│x3 + 4│

x h(x) = │x3 – 2│ i(x) = │x3 + 2│ j(x) =│x3 – 4│ k(x) =│x3 + 4│
-5 127 123 129 121
-4 66 62 68 60
-3 29 25 31 23
-2 10 6 12 4
-1,588 6 2 8 0
-1 3 1 5 3
0 2 2 4 4
1 1 3 3 5
1,2 0,272 4 2 6
1,25555 0 4 2 6
1,30000 0 4,2 2 6
1,40000 3 4,7 1 7
1,60000 2 6 0 8
2 6 10 4 12
3 25 29 23 31
4 62 66 60 68
5 123 127 121 129