Vigrar – Námsefni

Vigrar eru stærðfræðihugtak sem notað er til að lýsa færslu úr einum stað í annan. Þessi færsla er í tvívíðu hnitakerfi með x og y – ás, skilgreind með upphafspunkti og endapunkti. Færslan sjálf er þá einnig hliðrun sem nemur gildum í hnitakerfi (p,q).

Ef við horfum á upphafspunkt A = (x1,y1) og Endapunkt B = (x2,y2), þá er sjálf færslan eða vigurinn  

Talan x2 – x1 nefnist x – hnit vigursins og y2 – y1 er y – hnit vigursins. Ef við þekkjum eingöngu talnatvennd vigurs en vitum ekki hvar upphafspunkturinn er, lýsir hann einungis færslu en við vitum ekkert um upphafspunkt og endapunkt.

Það má segja að færslan sé eins og lýsing á dansi. Eitt skref til hægri og tvö skref fram en við vitum ekkert um það hvar dansarinn er í upphafi eða lok þessara spora.

Ef við vitum hins vegar upphafspunktinn A þá getum við reiknað endapunktinn út með því að leggja færsluna við hnit punktsins A. Ef við þekkjum upphafs og endapunkt vigurs getum við alltaf teiknað hann upp í hnitakerfi og reiknað færsluna út.

Vigur er talna tvennd sem getur átt sér upphafspunkt hvar sem er og endapunkturinn ræðst því af talna tvenndinni. Skoðum vigurinn

Ef við gefum upphafspunktinum A hnitin (1,2) verður endapunkturinn ákvarðaður út frá A og vigrinum og .  Skoðum þetta í hnitakerfi.

Vigur er því ákveðinn af hnitum sínum en ekki staðsetningu í hnitakerfinu, ef við veljum annan upphafspunkt eins og til dæmis (2,0) og köllum þann vigur

þá er það nákvæmlega sami vigurinn og

Hann á sér bara annan upphafspunkt C = (2,0) og þar með annan endapunkt D = (6,2) þar sem við leggjum x hnit vigursins við x hnit punktsins C og fáum að 4 + 2 = 6 og leggjum sama y hnit vigursins og punktsins C og fáum að 2 + 0 = 2.

Skoðum báða vigrana í sama hnitakerfi.

Það er mjög augljóst að vigrarnir tveir eru nákvæmlega eins, þetta eru stefnubundin strik sem eru nákvæmlega jafn löng með sömu stefnu en með mismunandi upphafs og endapunkta. Þar sem vigrar eru ekki háðir staðsetningu er til siðs að tákna þá með feitletruðum litlum bókstöfum a,b,c,d.

Sýnidæmi 1

Sýnidæmi 2

Samlagning vigra

Vigrar lýsa færslu og eru afar gagnlegir sem verkfæri til að leysa ýmis eðlisfræði verkefni í tengslum við færslu. Hugsum okkur ferðalag á punkti sem er færður til (hliðrað) í hnitakerfi. Hugsum okkur að punkturinn sé upphaflega staðsettur með hnitin (x,y) síðan er hann færður um (z,q) og þaðan um færsluna (r,s). Punkturinn er þá staðsettur í punktinum (x + z + r, y + q + s). Þetta sýnir að hægt er að leggja saman færslur sem lýsa má með vigrum.

Skoðum þetta myndrænt og hugsum okkur að upphafspunktur vigursins a sé í A og endapunktur hans sé í B. B verður þá upphafspunktur vigursins b sem er lagður við að og endapunktur hans er C.

Sýnidæmi 3

Mismunur vigra

Víxlregla fyrir vigra

a + b = b + a

Tengiregla fyrir vigra

(a + b) + c = a + (b + c)

Margfeldi tölu og vigurs

Nokkrar reiknireglur um tölur og vigra

Fyrir tölurnar r og s og vigrana a og b gildir:

  1. r∙(s∙a) =(r∙s)∙a
  2. (r + s)∙a = r∙a + s∙a
  3. r(a + b) = r∙a + r∙b

Lengd vigurs

Horfum á vigurinn

 í hnitakerfi og sjáum hvernig hann er nánast eins og langhliðin í rétthyrndum þríhyrningi.

Skammhliðarnar í þessum þrýhirningi samsvara hnitum vigursins, þ.e.a.s færslunni til hægri og færslunni upp. Lengd vigursins er því samkvæmt píþagórasarreglunni kvaðratrótin af hnitum vigursins í öðru veldi.

Einingavigur

Vigur sem hefur lengdina 1 nefnist einingavigur og er oft táknaður með e.

Hallatala vigurs

Vigurinn

hefur hallatölu ef  er ekki núll, því hallatala vigurs er skilgreind sem h =  þar sem eigi má með núlli deila hefur vigur með  = 0 enga hallatölu. Slíkur vigur vísar annað hvort beint upp eða beint niður og er samsíða y ás og er lóðréttur en hallar ekki neitt.

Prófum að teikna vigra á forminu

Teiknum inn

og veljum mismunandi upphafspunkta fyrir þá í öllum tilfellum er færslan hvorki til hægri né vinstri heldur einungis ýmist upp eða niður á við.

Eins og sjá má eru allir þessir vigrar samsíða þó að þeir hafi enga hallatölu, þeir vísa ýmist upp eða niður og eru mislangir.

Samsíða vigrar

Vigrar eru samsíða ef þeir hafa sömu hallatölu eða ef þeir hafa enga hallatölu eins og vigrarnir sem sem fjallað var um hér að ofan. Ef tveir vigrar a og b eru samsíða er það táknað sem a││b

Vigur a er einnig samsíða línu m ef vigurinn og línan hafa sömu hallatölu eða ef hvorugt hefur hallatölu, þetta er táknað með a││m. Þá er líka sagt að vigurinn sé stefnuvigur línunnar.

Vigrar sem eru samsíða eru ávallt margfeldi af hvor öðrum, þ.e.a.s. undir öllum kringumstæðum er hægt að finna tölu r, þannig að um tvo samsíða vigrar a og b gildi a = rb.

Ef r > 0 þá hafa vigrarnir a og b sömu stefnu en ef r < 0 eru þeir með gagnstæða stefnu.

Vigur ákvarðast fullkomlega af lengd sinni og stefnu og einingavigur e er með sömu stefnu og vigur a, ef :

Með öðrum orðum þá getum við búið til einingarvigur (vigur af lengd 1) með sömu stefnu og vigurinn a, með því að deila í vigurinn með lengd hans.

Mínusregla

Miðpunktur striks eða vigurs sem er stefnubundið strik

Ef M er miðpunktur striks AB með A = (a1,a2) og B = (b1,b2) er

Víxlregla, Dreifiregla og tengiregla fyrir vigra

Víxlregla: a∙b = b∙a

Dreifiregla a∙(b + c) = a∙b + a∙c

Tengiregla (r∙a)∙b = r∙(a∙b) = a∙(r∙b)

 Innfeldi vigra

Hornréttir vigrar og línur

Ef margfeldi hallatalna tveggja lína h1 og h2 er -1 þá eru línurnar hornréttar hvor á aðra.

Það sama gildir um tvo vigra ef margfeldi hallatalna þeirra er -1 þá eru vigrarnir hornréttir hvor á annan.

M.ö.o ef h1∙h2 =-1 þar sem h1 og h2 eru hallatölur tveggja lína eða tveggja vigra þá eru línurnar og vigrarnir hornréttir hvor á annan.

Stundum er talað um að vigur b sem er horréttur á annan vigur a sé þvervigur vigursins a.