Þáttun

Þáttun heitir það þegar liðastærð er rituð sem margfeldi tveggja eða fleiri þátta, þar sem a.m.k. einn þátturinn er liðastærð innan sviga.

Aðferðir við að þátta eru:

  1. Taka út fyrir sviga
  2. Nota ferningsregluna
  3. Nota samokaregluna
  4. Ágiskun

Sýnidæmi 1

  1. ax2 – ax = ax(x – 1)                                        Notum aðferð 1 og tökum út fyrir sviga
  2. 3a2x + 4ax2 = ax(3a + 4x)                         Notum aðferð 1 og tökum út fyrir sviga
  3. 4ax2 – 2a2x + 3ax = ax(4x – 2a + 3)     Notum aðferð 1 og tökum út fyrir sviga
  4. a(b + 1) + 5(b + 1) = (a + 5)(b +1)               Hér tökum við stærðina A = (b + 1) út fyrir sviga. Hugsum okkur að við skiptum á A og (b + 1) í jöfnunni hér fyrir ofan, þá fáum við:

aA + 5A = (a + 5)A

Skiptum síðan aftur á A og (b +1) og sjáum að:

a(b + 1) + 5(b + 1) = aA + 5A = (a + 5)A = (a + 5)(b +1)

Sýnidæmi 2

  1. a2(x + y) + b3(x + y) = (a2 + b3)(x + y)    Hér tökum við stærðina B = (x + y) út fyrir sviga og fáum:                   a2(x + y) + b3(x + y) = a2B+ b3B = a2B+ b3B  = (a2 + b3)B = (a2 + b3)(x + y)
  2. x2y + x2z + y3 + y2z = x2(y + z) + y2(y + z) = x2C + y2C = (x2 + y2)C = (x2 + y2)(y + z)

Byrjum á því að taka x2 út fyrir sviga í tveimur fyrstu liðunum og síðan y2 út fyrir sviga í tveimur næstu liðum.

Næsta skref er að skipat um breytistærð og kalla (y + z) = C

Því næst tökum við C út fyrir sviga og að lokum skiptum við aftur um breytistærð.

 

Sýnidæmi 3

  1. 16 – 9a2 = (4 – 3a)(4 + 3a)                                        Notum samokaregluna
  2. a2x2 – 6abx + 9b2 = (ax)2 – 2(ax·3b) + (3b)2    Skiptum um breytistærðir og köllum A = ax og  B = 3b og fáum:

a2x2 – 6abx + 9b2 = (ax)2 – 2(ax·3b) + (3b)2  = A2 – 2AB + B2 = (A – B)(A – B) = (A – B)2 = (ax – 3b)2

Loka útkomuna fáum við með því að skipta aftur um breytistærðir

Sýnidæmi 4

  1. 3y2 + 6yc + 3b2 = 3(y2 + 2yc + b2) = 3(y + b)                  Tökum 3 útfyrir sviga og þáttum síðan
  2. 8z2 – 32r2 = 8(z2 – 4r2) = 8 (z – 2r)(z + 2r)                       Tökum 8 út fyrir sviga og þáttum síðan
  3. q2 – 8q + 16 – s2 = (q – 4)(q – 4) – s2 = (q – 4)2 – s2      

Hér byrjum við á að þátta  q2 – 8q + 16 sem gefur (q – 4)og síðan notum við samokaregluna með því að skipta um breytistærð og hugsa okkur að (q – 4) = A

Þá verður (q – 4)2 – s2   

= A2 – s= (q – 4)2 – s

    Ágiskun

Oft þarf að nota ágiskun til þess að þátta og þá er mikilvægt að vera góður í margföldunartöflunni og öllum reiknireglum. Þessi verður best lýst með dæmum.

Sýnidæmi 5

x2 + 9x – 36 = (x    )(x   )

Til þess að þátta þetta dæmi byrjar maður á hinu augljósa.

Fremst í svigana er hægt að setja x, þar sem margfeldi tveggja x gefur x2.

Við þurfum að skoða öll möguleg marfeldi sem gefa -36 og skoða hvaða tölur margfaldaðar saman sem gefa – 36 hafa summuna +9.

Um er að ræða:

1 og – 36;  2 og – 18;  3 og -12; 4 og – 9;  6 og -6;  9 og -4;  12 og -3;  18 og -2;         36 og -1.

Þar sem summan af 12 og -3 er 9 er lausnin fundin:

x2 + 9x – 36 = (x + 12)(x  – 3)

Sýnidæmi 6

x2 + 7x – 18 = (x    )(x   )

Skoðum hvaða tölur gefa margfeldið -18 og summuna 7:

-1 og 18; -2 og 9; -3 og 6; 1 og -18; 2 og -9; 3 og – 6 gefa margfeldið -18

-2 og 9 hafa summuna 7 svo lausnin er fundin:

x2 + 7x – 18 = (x – 2)(x + 9)

Sýnidæmi 7

3x2 – 7x + 2 = (3x     )(x    )

Hér dugar ekki að setja x fremst í báða svigana því við þurfum að fá 3x2 þegar margfaldað er upp úr þeim, við þurfum því að setja 3x fremst í annan svigann og 1x í hinn.

Skoðum síðan hvaða tvær tölur margfaldaðar saman gefa tvo það eru -1 og -2 annars vegar og 1 og 2 hins vegar.  Þar sem að summan af x um er neikvæð tala eru -1 og -2 eina lausnin. Til þess að koma þeim rétt fyrir í svigunum þarf að skoða hversu mörg x við viljum fá og þau eru -7. Til þess að það gerist þarf að margfalda -2 með 3x svo -2 verður að vera í seinni sviganum. Lausnin er því:

3x2 – 7x + 2 = (3x – 1)(x – 2)