Föll á forminu 1 deilt með x í þriðja veldi

Skoðum fallið f(x) = 1/x3

Eins og öll föllin á þessu formi 1 á móti x í einhverju veldi er x = 0 ekki á formengi fallsins og y – ás er því lóðfella.

Eins og fyrir föll á forminu 1/x og 1/x2 verður gildi f(x) óendanlega lítið eftir því sem gildi x verður stærra svo x – ás er láfella fyrir fallið. Fallið nálgast bara aðfellur sínar enn hraðar þar sem margliðan undir brotastrikinu vex hraðar.

Búum okkur til töflu með nokkrum gildum og teiknum síðan fallið til þess að sjá hvernig það lítur út.

x f(x) = 1/x3
-4 -0,02
-3 -0,04
-2 -0,13
-1 -1,00
-0,7 -2,92
-0,5 -8
-0,3 -37
-0,1 -1000
0 Lóðfella
0,1 1000
0,3 37
0,5 8
0,7 2,92
1 1,00
2 0,13
3 0,04
4 0,02

Prófum nú að hliðra f(x) upp og niður

Byrjum á því að hliðra f(x) upp og niður og búum til föllin

g(x) = 1/x3 + 5

h(x) = 1/x3  + 2

i(x) = 1/x3 – 5

j(x) = 1/x3 – 2

Reiknum út nokkra punkta og skoðum hvernig ferlarnir líta út

Skoðum margliðubrot með tveimur rótum

Næst skulum við prófa að hliðra f(x) því þannig að fallið hafi rætur í x = 2 og x = -2 og leyfum x = -2 að vera tvöföld rót.

Köllum þetta fall k(x) = 1/((x + 2)2(x – 2))

Reiknum nokkur gildi fyrir þetta fall og teiknum það upp. Af því að þetta fall hefur tvær rætur þá verða lóðfellur í bæði x = 2 og x = -2 og eins og áður verður gildi fallsins smærra og smærra eftir því sem x verður stærra og því er x ásinn láfella.

Reiknum nokkra punkta og teiknum fallið upp

x k(x) = 1/((x + 2)2(x – 2))
-4 -0,01
-3 -0,04
-2,7 -0,06
-2,5 -0,10
-2,1 -0,59
-2,05 -1,22
-2,01 -6,22
-2 Lóðfella
-1,99 6,28
-1,95 1,28
-1,9 0,66
-1,7 0,24
-1,5 0,16
-1 0,11
-0,9 0,11
-0,7 0,11
-0,5 0,11
-0,1 0,12
0 0,13
0,1 0,13
0,3 0,15
0,7 0,22
0,9 0,28
1 0,33
1,3 0,62
1,5 1,14
1,9 25,64
2 Lóðfella
2,1 24,39
2,3 2,58
2,5 0,89
3 0,20
4 0,04

Eins og graf fallsins sýnir glöggt eru lóðfellur í -2 og 2 og fallið klofnar upp í þrjá hluta í kringum lóðfellurnar.

Skoðum margliðubrot með þremur rótum

Skoðum fallið m(x) = 1/((x – 5)(x – 1)(x + 3))

Þetta fall hefur þrjár rætur í nefnar og þar með þrjár lóðfellur þar sem rætur nefnarans eru eða í

x = 5, x = 1 og x = -3

Eins og fyrr verður gildi fallsins sífellt minna eftir því sem x stækkar tölugildislega og því er x – ásinn láfella eins og sjá má á grafi fallsins.

Reiknum nú út nokkur gildi og teiknum graf fallsins

x m(x) = 1/((x – 5)(x – 1)(x + 3))
-5 -0,01
-4 -0,02
-3,7 -0,03
-3,3 -0,09
-3,1 -0,30
-3,05 -0,61
-3,01 -3,11
-3,001 -31,24
-3 Lóðfella
-2,999 31,26
-2,99 3,14
-2,95 0,64
-2,9 0,32
-2,7 0,12
-2,5 0,08
-1 0,04
-0,9 0,04
-0,7 0,04
-0,5 0,05
-0,1 0,06
0 0,07
0,1 0,07
0,3 0,09
0,7 0,21
0,9 0,63
0,95 1,25
0,99 6,25
1 Lóðfella
1,01 -6,25
1,05 -1,25
1,1 -0,63
1,3 -0,21
1,5 -0,13
1,9 -0,07
2 -0,07
2,1 -0,06
2,3 -0,05
2,5 -0,05
3 -0,04
4 -0,05
4,5 -0,08
4,7 -0,12
4,9 -0,32
4,95 -0,64
4,99 -3,14
4,999 -31,26
5 Lóðfella
5,001 31,24
5,01 3,11
5,05 0,61
5,1 0,30
5,3 0,09
5,5 0,05
6 0,02
7 0,01
8 0,00
9 0,00

Graf fallsins sýnir glögglega hvernig fallið nálgast lóðfellur sínar og láfellur og hvernig það skiptist upp í fjóra parta í kringum þrjár lóðfellur.