Föll á forminu 1/x

Föll á forminu 1/x

Byrjum á að skoða fallið 1/x og teiknum það upp í hnitakerfi.

Ef við horfum á þetta einfalda fall þá er ljóst að þar sem ekki má deila með 0 þá hefur fallið ekkert gildi í punktinum x = 0. Þannig að fallið er óskilgreint í punktinum og formengi fallsins eru allar rauntölur nema núll eða x er stak í {R\0}.

Ef við deilum með agnarsmárri tölu upp í 1 verður útkoman mjög stór tala en ef við x er mjög stór tala nálgast fallið 0 alltaf meira og meira en nær aldrei 0 svo að varpmengi fallsins er allt rauntölumengið nema y = 0 þannig að varpmengi fallsins er eru allar rauntölur nema 0 eða y er stak í {R\0}.

Reiknum út nokkur gildi fyrir fallið og teiknum það upp.

x f(x) = 1/x
0,001 1000
0,01 100
0,1 10
1 1
2 0,5
10 0,1
50 0,02
100 0,01
1000 0,001

Eins og sjá má ef myndin er skoðuð fara ferlarnir óendanlega nálægt ásunum x og y án þess að snerta þá nokkur tíma. Ásarnir í hnitakerfinu eru sagðir vera aðfellur ferilsins f(x) = 1/x  vegna þess að engir punktar á ferlunum eru á ásunum en ferlarnir nálgast ásana án þess að ná að snerta þá.

Hliðrum ferlinum f(x) = 1/x upp og niður í hnitakerfinu

Prófum nú að hliðra þessum ferli í hnitakerfinu.

Skoðum g(x) = 1/x + 5, h(x) = 1/x + 10, i(x) = 1/x – 5 og j(x) = 1/x – 10.

Lóðrétti ásinn er lóðrétt aðfella fyrir alla þessa ferla eins og ferilinn 1/x af því áfram er formengið það sama því þú skalt ekki með núlli deila.

Hins vegar er lárétti ásinn ekki hinn sami.

Fyrir g(x) er lárétt aðfella í 5

Fyrir h(x) er lárétt aðfella í 10

Fyrir i(x) er lárétt aðfella í – 5

Fyrir j(x) er lárétt aðfella í -10

Ef við teiknum láréttu aðfellurnar inn á grafið sést er augljóst að form ferlanna er nákvæmlega eins og ferill fallsins 1/x en þeim hefur ýmist verið hliðrað upp eða niður.

Á næstu mynd er búið að teikna inn aðfellurnar y = – 10, y = -5, y = 5 og y = 10.

Þær eru allar rauðar og láréttar.

Hliðrum 1/x til vinstri og hægri í hnitakerfinu

Skoðum nú g(x) = 1/(x – 5), h(x) = 1/(x – 10), i(x) = 1/(x + 5) og j(x) = 1/(x + 10)

Nú eru formengin ekki þau sömu,

fyrir g(x) er lóðrétt aðfella í x = 5 því þá er x – 5 núll

fyrir h(x) er lórétt aðfella í x = 10 því þár er x – 10 núll

fyrir i(x) er lóðrétt aðfella í x = -5 því þá er x + 5 núll

fyrir j(x) er lóðrétt aðfella í x = -10 því þá er x + 10 núll

Finnum nokkur hnit fyrir þessi föll og teiknum upp ferlana.