Föll á forminu 1/(annars stigs margliða)

Föll á forminu 1/x2

Byrjum á því að skoða fallið f(x) = 1/x2. Það er augljóst að x = 0 er ekki hluti af formengi fallsins þar sem þú þú skalt ey með núlli deila. Y – ásinn x = 0 er því lóðfella fallsins og þegar x verður stór neikvæð eða jákvæð tala tekur f(x) gildi sem nálgast x – ásinn eftir því sem x stækkar og x – ás er því líka aðfella. Þetta er því nokkuð svipað og fyrir fallið f(x) = 1/x. Fallið nálgast bara aðfellur sínar hraðar þar sem margliðan undir brotastrikinu vex hraðar.

Þar sem x2 er alltaf stærra en 0 þá tekur fallið eingöngu pósitíf gildi.

Búum til nokkur gildi fyrir fallið og teiknum það upp.

x f(x) = 1/x2
-10,00 0,01
-9,00 0,01
-8,00 0,02
-7,00 0,02
-6,00 0,03
-5,00 0,04
-4,00 0,06
-3,00 0,11
-2,00 0,25
-1,00 1,00
-0,50 4,00
-0,20 25,00
0,00 Lóðfella
0,20 25,00
0,50 4,00
1,00 1,00
2,00 0,25
3,00 0,11
4,00 0,06
5,00 0,04
6,00 0,03
7,00 0,02
8,00 0,02
9,00 0,01
10,00 0,01

Prófum að hliðra grafinu upp og niður í hnitakerfinu með því að leggja við það 5 og 10 og draga frá 5 10.

g(x) = 1/x2 + 5

h(x) = 1/x2 + 10

i(x) = 1/x2 – 5

j(x) = 1/x2 – 10

Búum til nokkur hnit fyrir þessi föll og teiknum þau upp ásamt fallinu f(x).

Föll á forminu 1/(x2 + ax + b)

Prófum nú að hliðra fallinum f(x) = 1/x2 með því að búa til tvær rætur sitt hvoru megin við y – ás og sjá hvernig fallið lítur þá út.

Skoðum á sama grafi og f(x) föllun

g(x) = 1/(x – 2)2 = 1/(x2 – 4x + 4)

h(x) = 1/(x – 5)2 = 1/(x2 – 10x + 25)

i(x) = 1/(x + 5)2 = 1/(x2 + 10x + 25)

Eins og sjá má hliðrast graf f(x) til þannig að það speglast um nýjar lóðfellur í rótum fallanna g(x), h(x) og i(x) í x = 2, x = 5 og x = -5.

Prófum nú að bera föll með tvær mismunadi rætur saman við fallið f(x) = 1/x2. Þ.e.a.s. föllin:

g(x) = 1/((x – 2)(x + 3)) = 1/(x2 + x – 6) þetta fall hefur lóðfellur í rótunum x = 2 og x = -3

h(x) = 1/((x – 6)(x + 7)) = 1/(x2 + x – 42)  þetta fall hefur lóðfellur í rótunum x = 6 og x = -7

Reiknum nokkur gildi og teiknum föllin upp ásamt fallinu f(x)

Á grafinu sérst glöggt hvernig ræturnar tvær skipta grafi fallanna upp í þrjá hluta með lóðfellur í rótum margliðanna undir striki.