Margliðubrot – Lausnir

Margliðubrot – Æfing 1 – lausnir

f(x) hefur ló‘fellu í x = -4 þar sem -4 er rót í nefnara fallsins, y = 3 er láfella fallsins, því eftir því sem x verður stærri tala, hvort sem hún er jákvæð eða neikvæð, verður brotið að nánast engu og eftir stendur talan 3.

g(x) hefur lóðfellu í x = 4 þar sem 4 er rót í nefnara fallsins, y = -3 er láfella fallsins, því eftir því sem x verður stærri tala, hvort sem hún er jákvæð eða neikvæð, verður brotið að nánast engu og eftir stendur talan -3.

h(x) hefur lóðfellu í x = – 6 þar sem -6 er rót í nefnara fallsins, y = -8 er láfella fallsins, því eftir því sem x verður stærri tala, hvort sem hún er jákvæð eða neikvæð, verður brotið að nánast engu og eftir stendur talan -8.

i(x) hefur lófelluna x = 6 þar sem 6 er rót í nefnara fallsins, því eftir því sem x verður stærri tala, hvort sem hún er jákvæð eða neikvæð, verður brotið að nánast engu og eftir stendur talan 8.

Reiknum nú nokkur gildi fyrir föllin og teiknum þau upp í sama graf.

Skoðið ferlana og sjáið fyrir ykkur hvernig láfellurnar og lóðfellurnar liggja.

Sem auka æfing er ágætt að teikna þær inn á grafið til að þær blasi betur við sjónum.

Margliðubrot – Æfing 2 – lausnir  

Byrjum á að skoða nefnar f(x) = 1/(x2 – 6x + 9)

Munið að teljari er fyrir ofan strik og nefnari fyrir neðan (n & n)

x2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3)

Þeir sem eru talnaglöggir geta þáttað þetta án þess að reikna þetta út en svo má reikna

D = 36 -4∙(1)∙9 = 36 – 36 = 0 sem þýðir að lausnin á annars stigsmargliðunni er tvöföld rót:

x = -(-6)/(2∙1) = 3.

Þar sem að annars stigs margliðan hefur eina rót x = 3 þá hefur fallið f(x) aðeins eina lóðfellu x = 3.

Þegar x vex, verður liðurinn x2 ráðandi umfram liðina – 6x og 9 þar sem x = 1000 í öðru veldi verður 1.000.000 og þá skipta -6000 og svo 9 afar litlu máli og ennþá minna eftir því sem x verður stærra, hvort sem það er pósitíft eða negatíft. Fallið nálgast því láfellu sýna y = 0 eða x ás eftir því sem x verður stærra. Láfella fallsins er því x ásinn eða  y = 0.

Það er augljóst að rætur í nefnara brotsins í fallinu g(x) = 1/(x2 – 6x + 9) + 2 eru þær sömu og fyrir fallið f(x) en búið er að hliðra gildum fallsins upp um tvo. Lóðfellan er því ein og hin sama og fyrir f(x) eða x = 3. Hins vegar er láfellan nú gildið 2, þ.e.a.s. y = 2, því þegar brotið nálgast gildið núll eftir því sem x stækkar verður heildar gildi fallsins nálægt því að vera 2.

Ef við skoðum síðan fallið h(x) = 1/(x2 – 6x + 9) – 2 er það sambærilegt við g(x) nema nú er búið að hliðra fallinu f(x) niður um tvo. Rætur í nefnara brotsins eru þær sömu svo þetta fall hefur einnig lóðfelluna x = 3. Hins vegar nálgast fallið y = -2 þegar brotið verður að engu eftir því sem gildið á x – stækkar.

Reiknum ú út nokkur gildi fyrir þessi föll og teiknum þau síðan upp á eitt graf.

Skoðum nú fallið i(x) = 1/(x2 + x – 12), könnum ræturnar í nefnar og talnaglöggir sjá að:

x2 + x – 12 = (x – 3)(x + 4)

Getum líkar reiknað D = 1 – 4∙(1)∙(-12) = 1 + 48 = 49 = 72

Þannig fáum við að x = (-1 ± 7)/2∙(1) svo að x = -4 eða x = 3, þannig að rætur nefnara fallsins i(x) eru

x = -4 og x = 3 sem eru þá jafnframt lóðfellur fallsins.

Á sama hátt og fyrir önnur annars stigs föll er síðan x – ás eða y = 0 láfella fyrir fallið þar sem gildi fallsins nálgast núll (stefnir á núll) eftir því sem gildi x vex.

Föllin j(x) og k(x) eru síðan föll þar sem búið er að hliðra fallinu i(x) annars vegar niður um 4 (j(x)) og hins vegar upp um 4 (k(x)). Þannig að föllin eru eins í laginu en j(x) er með láfelluna – 4 og k(x) er með láfelluna 4. Bæði j(x) og k(x) eru með sömu lóðfellur og i(x) nefnilega x = -4 og x = 3.

j(x) = 1/(x2 + x – 12) – 4

k(x) = 1/(x2 + x – 12) + 4

Reiknum út nokkra punkta fyrir þessi föll og teiknum upp gröf þeirra.

Margliðubrot – Æfing 4 – Lausn

þriðjastigs margliða með ræturnar x = – 4, x = 0 og x = 4 er á forminu: (x + 4)∙x∙(x – 4) = x(x2 – 16)

Búum til fallið f(x) = 1/(x(x2 – 16)) + 2

Þetta fall er með þriðjastigs margliðu með umgeðnum rótum og láfellu í y = 2 þar sem við bættum 2 við 1 deilt með margliðunni.