Fleygbogar Æfing 1.1 – Lausnir

1)

f(x) = 3x2 – 3x – 6

Þar sem stuðullinn við A > 0 er ljóst að armar fleygbogans snúa upp og hann er með botnpunkt.

Finnum skurðpunkta við x – ás: 3x2 – 3x – 6 = 0  deilum í gegnum jöfnuna með 3 og fáum:

x2 – x – 2 = 0 <=> (x – 2)(x + 1) = 0 svo að rætur jöfnunnar og skurðpunktar fleygbogans við x – ás eru x = 2 og x = -1. Hefðum líka getað reiknað út D og séð að:

D = 9 – 4·3·(-6) = 9 + 72 = 81 = 92 sem er stærri en 0 svo fleygboginn hefur tvo skurðpunkta eins og við vorum búin að sjá  x = (3±9)/6  sem gefur sömu lausnir og áður, x = 2 eða x = -1.

Til að vera alveg viss má líka próf að stinga gildunum 2 og -1 inn í fallið og sannreyna að niðurstaðan er 0.

f(2) = 3·22 – 3·2 – 6 = 12 – 6 – 6 = 0

f(-1) = 3·(-1)2 – 3·(-1) – 6 = 3 + 3 – 6 = 0

Finnum nú samhverfuásinn x = 3/2·3 = 1/2

Y hnit á botnpunkti sem er á samhverfuásnum og finnst með því að setja 1/2 inn í forskrift fallsins:

f(-3) = 3·(1/2)2 – 3·(1/2) – 6 = 3/4 – 3/2 – 6 =(3 – 6 – 24)/4 = -27/4 = -6,75

Botnpunkturinn er því með hnitin (-3; -6,75)

Reiknum nokkur gildi fyrir fleygbogann til viðbótar við skurðpunktana og botnpunktinn og teiknum síðan bogann.

2)

f(x) = 2x2 – 13x + 20

Þar sem stuðullinn A er pósitífur snúa armarnir á þessum fleygboga upp

Finnum skurðpunkt við x – ás

D =  169 – 4·2·20 = 169 – 160 = 9 = 32

x = (13 ± 3)/4  svo x = 4 eða x = 2,5 eru skurðpunktar við x – ás

Samhverfuásinn er x = 13/4 = 3,25

Botnpunktur fleygbogans er fundinn með því að setja (13/4) inn í jöfnu fallsins:

f(13/4) = 2(13/4)2 – 13 (13/4) + 20 = 2·169/16 – 169/4 + 20 = 169/8 – 169/4 + 20

= (169 – 2·169 + 160)/8 = (-169 + 160)/8 = -9/8 sem er lægsta gildi fallsins.

Botnpunkturinn er því með hnitin (13/4, -9/8).

Reiknum út nokkur gildi fyrir fallið og teiknum ferilinn.

3)

f(x) = 40 – 6x – x2

Hér er stuðullinn A neikvæður svo fyrir þennan fleygboga vísa armarnir niður

Finnum skurðpunkta við x – ás:

D = 36 – 4·(-1)·40 = 36 + 160 = 196 = 142

x = (6 ± 14)/(-2) svo x = -10 eða x = 4

Samhverfuásinn er x = 6/(-2) = -3

Y – hnit topppunkts er f(-3) = 40 + 18 – 9 = 58 – 9 = 49 sem er þá hæsta gildi fleygbogans og topppunkturinn er (-3,49).

Reiknum út nokkra punkta fyrir feril fallsins og teiknum það síðan.

4)

f(x) = 5x2 + 9x – 2

Hér er stuðullinn A stærri en 0, fleygboginn snýr því með arma upp og er með botnpunkt og lægsta gildi.

Finnum skurðpunkta við x – ás:

D = 81 – 4·5·(-2) = 81 + 40 = 121 = 112

x = (-9 ± 11)/10  svo skurðpunktarnir eru x = -2/10 = -1/5 = – 0,2 eða x = -2

Samhverfuás er x = -9/10 = -0,9

Finnum lággildið

f(-9/10) = 5(-9/10)2 + 9(-9/10) – 2 = 5·81/100 – 81/10 – 20 = 81/20 – 81/10 – 2

= (81-2·81- 40)/20 = (-1 – 40)/20 = -121/20 = -30,55

Botnpunkturinn er því (-0,9 ; -30,55)

Reiknaðir eru nokkrir punktar fyrir ferilinn og hann er síðan teiknaður.

5)

f(x) = -x2 + 4x + 1

Þessi fleygbogi snýr örmunum niður.

Byrjum á að finna skurðpunkta við x – ás

D = 16 – 4(-1)1 = 12 = ((√ 4·3))2

=(2√ 3)2

Skurðpunktar við x – ás eru því

x = (-4 ±2√ 3)/(-2) svo skurðpunktarnir eru x = 2 ± √ 3

Samhverfuásinn er x = – 4/(-2) = 2

Y – hnit topppunkt fleygbogans (hæsta gildi/hágildi) er f(2) = -4 + 8 + 1 = 5

Reiknum út hnit á nokkrum punktum og teiknum ferilinn

 

6)

f(x) = 2x2 + 4x – 3

Hér er A stærra en 0 svo fleygboginn snýr með arma upp og hefur lággildi (botnpunkt).

D = 16 – 4·2(-3)= 16 + 24 = 40 = (√ (4·10))2 = ( 2√10)2

Skurðpunktar við x – ás eru því x = (-4 ± 2√10 )/4 = -1 ±√10/2

Samhverfuásinn er x = -4/4= -1 með lággildi f(-1) = 2 – 4 – 3 = -5

Lággildi fæst sem f(-5) = 50 – 20 -3 = 27

Reiknum nokkur gildi fyrir fallið og teiknum ferilinn.

7)

f(x) = 3x2 + 4x – 4

Þessi fleygbogi snýr með armana upp og er með lággildi eða botnpunkt.

D = 16 – 4·3(-4) = 16 + 48 = 64 = 82

x = (-4 ± 8)/6 svo x = ¾ eða x = -2

Samhverfuásinn er x = -4/6 = -3/4

Lággildið er: f(-3/4) = 27/16 – 3 – 4 = (27 – 64)/16 = 37/16

Reiknum nokkra punkta fyrir fallið og teiknum ferilinn.

8)

f(x) = -x2 + 2x – 3

Þar sem stuðullinn A er neikvæður er ljóst að þessi fleygbogi snýr með armana niður og er því með topppunkt eða hágildi.

Finnum skurðpunkta við x – ás:

D = 4 – 4(-1)(-3) = 4 – 12

Þar sem D er minna er núll eru engi skurðpunktar við x – ás.

Samhverfuásinn er x = -2/(-2) = 1

Hágildið eða y – hnit topppunkts er f(1) = -1 + 2 – 3 = -2

Reiknum nokkur gildi fyrir fallið og teiknum fleygbogann

 

9)

f(x) = x2 + 2x + 4

Hér snúa armar fleygbogans upp og hann er með botnpunkt eða lággildi.

Finnum skurðpunkta við x – ás.

D = 4 – 4·1·4 = -12 svo það eru engir skurðpunktar við x – ás

Finnum samhverfuás: x = -2/2 = -1

Lággildið er í f(-1) = 1 – 2 + 4 = 3

Reiknum nokkur gildi fyrir fallið og teiknum ferilinn.

10)

f(x) = -x2 + 2x + 4

Nú er stuðullinn A neikvæður svo að þessi fleygbogi snýr með armana niður og er með topppunkt / hágildi.

Finnum skurðpunktana við x – ás.

D = 4 – 4(-1)4 = 16 = 42

x = (-2 ± 4)/2 svo x = 1 eða x = -3

Samhverfuásinn er x = -2/(-2) = 1

Reiknum nokkur gildi fyrir fallið og teiknum fleygbogann.