Fleygbogar – Æfing 1.2 – Lausnir

 

  1. Rétthyrningur með ummál 36 hefur hliðarlengdir af lengdinni x og y. Fyrir hverjar eiga hliðarlengdir rétthyrningsins að vera svo að flatarmálið verði sem stærst. Hversu stór er stærsti mögulegur flötur rétthyrningsins?

Köllum langhliðina í rétthyrningnum y og skammhlið rétthyrningsins x

 

Ummál rétthyrnings er summa allra hliðarlengda. Tvær hliðarlengdir eru x og tvær eru y svo að Ummálið má tákna sem 2x + 2y = 36 ó x + y = 18 ó y = 18 – x

Flatarmálið er margfeldi hliðarlengdanna og það má tákna sem f(x) = x·(18 – x) = 18x – x2 sem er fall fleygboga sem snýr örmunum niður og er með topppunkt / hágildi.

Samhverfuás þessa falls er x = -18/(-2) = 9 og topppunktur fleygbogans eða hágildi og þar með mesta flatarmál fæst með því að finna f(9) = 9(18 – 9) = 81.

Rétthyrningurinn er því ferningur með hliðarlengdir x = 9 og y = 18 – 9 = 9.

N.B. Ferningur er rétthyrningur með allar hliðar jafn langar.

2  Finnið stuðla fallsins f(x) = ax2 + bx + c þannig að það liggi um punktana:

a) (1,2), (0, -3) og (5, 102)

Höfum að:

f(1) = a + b + c = 2

f(0) = c = -3 svo c = -3

f(5) 25a + 5b – 3 = 102 <=> 25a + 5b = 105 <=> 5a + b = 21 <=> b = 21 – 5a

Stingum gildunum fyrir b og c  sem búið er að einangra inn í fyrstu jöfnuna fyrir f(1) og fáum:

a + 21 – 5a – 3 = 2 <=> -4a + 18 = 2 <=> 4a = 16 <=> a = 4 => b = 21 -20 = 1

Fallið er því: f(x) = 4x2 + x – 3

b)  (-1, -6), (2,0) og (5,24)

Höfum að:

f(-1) = a – b + c = -6 <=> c = -6 – a + b

f(2) = 4a +2b + c = 0 <=> 4a + 2b – 6 – a + b = 0 <=> 3a + 3b = 6 <=> a + b = 2 <=>

b = 2 – a  þar sem c = – 6 – a + b <=> c = -6 – a +  2 – a = -4 – 2a

Síðasti punkturinn gefur.

f(5) = 25a + 5b + c = 24 <=> 25a + 5(2 – a) – 4 – 2a = 24 <=>

25a + 10 – 5a – 4 -2a = 24 <=>

18a + 6 = 24 <=> 18a = 18 <=> a = 1, þá fæst að b = 2 – 1 = 1 og c = -4 – 2(1) = -6

Fallið er því: f(x) = x2 + x – 6

c) (1,-8), (2,40) og (1,12)

Höfum að:

f(-1) = a – b + c = -8 <=> c = -8 – a + b

f(2) = 4a + 2b + c = 40 <=> 4a + 2b – 8 – a + b = 40 <=> 3a + 3b = 48 <=>

a + b = 16 <=>

b = 16 – a svo c = -8 – a +16 – a = 8 – 2a

f(1) = a + b + c = 12 <=> a + 16 – a + 8 – 2a = 12 <=> -2a + 24 = 12 ó 12 = 2a <=>

a = 6, þá er b = 16 – 6 = 10 og c = 8 – 12 = -4

Fallið er þá f(x): f(x) = 6x2 + 10x – 4

3  Anna bóndi vill koma sér upp matjurtagarði sem hún ætlar að staðsetja upp við langan steinvegg og girða af með 60 m löngu girðingarefni sem hún á. Hún vill hafa garðinn sem stærstan. Ef hún býr til rétthyrnt svæði, hversu langar eiga hliðar svæðisins að vera og hvert er stærsta flatarmál svæðisins?

 

Þar sem heildar lengd girðingar er 60 m þarf 2x + y = 60 m svo y = 60 – 2x

Flatarmáli matjurtargarðsins má lýsa með falli f sem er margfeldi af hliðarlengdunum x og y svo  f(x) = x·(60 – 2x) = 60x – 2x2.

Þetta fall er fleygbogi með arma sem vísa niður af því að stuðullinn A er neikvæður.

Finnum hágildi /topppunkt fallsins sem er á samhverfuás þess x

= -60/2(-2)= -60/(-4) = 15, þar með er y = 60 – 30 = 30 og mesta mögulega flatarmál er 15·30 = 450 m2.

Eða ef við notum fallið og reiknum hágildið f(15) = 60·15 – 2·152 = 900 – 2·225 = 900 – 450 = 450 sem er sama niðurstaða.