Fleygbogar – annars stigs ferlar

Ferill, fall og hnit

Jafna línu á forminu y = hx + k þar sem h er hallatala línunnar og k er skurðpunktur hennar við y – ás er þegar búið er að teikna hana upp í hnitakerfið er mynd línunnar kölluð ferill fallsins f(x) = hx + k.

Hér táknar f(x) y – hnit fallsins sem hefur hnitin (x, f(x)) þegar fallið er teiknað upp í hnitakerfinu.

Annars stigs ferlar eru ferlar falla sem eru á forminu f(x) = Ax2 + Bx + C, lausnir annars stigs jöfnunnar Ax2 + Bx + C = 0 gefa skurðpunkta ferilsins við x ás.

Einfaldasta form fleygboga er þegar stuðlarnir B og C eru báðir 0 og þegar A er annað hvort 1 eða -1. f(x) = x2. Þessi fleygbogi hefur einn skurðpunkt við x – ás í punktinum (0,0), y – ás er speglunarás / samhverfuás fleygbogans og topppunkturinn/botnpunkturinn er líka (0,0).

Þar sem allar tölur í öðru veldi eru pósitífar liggja öll gildi ferilsins fyrir ofan x ás og má segja að ferillinn líkist breiðu brosi (sjá bláan feril á Mynd 1).

Fallið f(x) = – x2 Hefur sama speglunarás og f(x) = x2, þessi ferill hefur topppunkt sem er líka (0,0) en þessi ferill er eins í laginu og f(x) = x2 en armarnir snúa niður fá topppunktinum og líkist ferillinn því skeifu (sjá appelsínugula ferilinn á Mynd 1).

Mynd 1 Sýnir fleygbogana f(x) = x2 og f(x) = -x2

Það er algild regla að ef stuðullinn við x2 er pósitífur þá fleygboginn eins og bros, með botnpunkt  með lægsta gildi (lággildi) á samhverfuásnum en ef stuðullinn við x2 er negatífur er fleygboginn eins og skeifa í laginu með topppunkt með hæsta gildi (hágildi) á samhverfuásnum.

Y – hnit topppunkts eða botnpunts fleygboga er fundið með því að setja gildi samhverfuássins inn í jöfnu fallsins. Y – hnit topppunkts eða botnpunkts gefur hæsta eða lægsta gildi fallsins eftir því hvort fleygboginn snýr örmunum upp eða niður.

Fleygbogunum má hliðra upp eða niður en halda speglunarásnum með því að leggja við eða draga tölur frá þessum einföldustu gerðum fleygboga.

Skoðum föllin f(x) = Ax2+ C, ef C er pósitíf tala lyftast fleygbogarnir upp í hnitakerfinu en færast niður ef C er neikvætt. Mynd 2 sýnir fleygbogana f(x) = x2 + 10 (blár), f(x) = x2 + 30 (grár), f(x) = -x2+10 (appelsínugulur) og f(x) = -x2+30 (gulur). Samhverfuás allra þessara fleygboga er y – ás og topp- og botnpunktar þeirra eru á y – ás. Nákvæmlega í punktunum (0,10) og (0,30) eða sem nemur hliðruninni upp á við.

Mynd 2 Fleygbogarnir f(x) = x2 + 10, f(x) = x2 + 30, f(x) = -x2+10 og f(x) = -x2+30

Með því að bæta stuðlinum B við jöfnuna hliðrast bæði samhverfuás og topp- og botnpunktar fleygbogans. Á Mynd 3 má sjá fleygbogana  f(x) = x2 + 5x (blár), f(x) = x2 + 20x (grár), f(x) = -x2+20x (gulur) og f(x) = -x2+15x (appelsínugulur).

Eins og sjá má á myndinni hafa allir þessir fleygboga skurðpunkt við x – ás í x = 0. Það gildir um alla fleygboga sem eru eingöngu með stuðla A og B sem eru ekki 0, það er augljóst því ávallt er hægt að taka x út fyrir sviga þegar f(x) = A x2+ Bx = x(Ax + B). Hinn skurðpunkturinn er þá x = -B/A.

Mynd 3 f(x) = x2 + 5x, f(x) = x2 + 20x, f(x) = -x2+20x og f(x) = -x2+15x

Dæmi 1

a) f(x) = x2 + 5x

Finnum skurðpunktana við x – ás með því að finna rætur fallsins eða m.ö.o. leysum jöfnuna

x2 + 5x = 0 ó x(x + 5) = 0 sem hefur lausnirnar x = 0 og x = -5 sem gefur skurðpunktana við x – ás. Það stemmir við myndina af bláa ferlinum. Samhverfuásinn er x = -B/2A = -5/2 = -2,5 y –hnit á botnpunkti fleygbogans eða lággildi hans er því f(-2,5) = 25/4 – 25/2 = -25/4 = -6,25 eða (-2,5; – 6,25)

b)  f(x) = x2 + 20x

Finnum skurðpunktana við x ás: x(x+20) = 0 gefur x = 0 eða x = -20.

Samhverfuásinn er x = -20/2 = -10

Botnpunkturinn hefur y hnit f(-10) = 100 – 200 = -100 svo botnpunkturinn er (-10, -100)

c)  f(x) = -x2+20x

Finnum skurðpunktana við x ás: x(20 – x) = 0 gefur x = 0 eða x = 20

Samhverfuásinn er x = -20/-2 = 10 og topppunktur er með hnitin

(10, f(10))

f(10) = -100 + 200 = 100 svo hnit topppunktsins eru 10,100)

d)  f(x) = -x2+15x

Hér eru skurðpunktar við x – ás: x(15 – x) sem gefur x = 0 og x = 15.

Samhverfuásinn er x = -15/-2 = 7,5 og topppunkturinn er með hnitin (7,5; f(7,5))

Þar sem f(7,5) = -56,25 + 112,5 = 56,25

Topppunkturinn hefur því hnitin (7,5; 56,25)

Dæmi 2

Skoðum ferilinn f(x) = 2x2 – x – 15

Finnum skurðpunkta ferilsins við x – ás:

D= 1 – 4·2·(-15) = 1+120 = 121 = 112

Skurðpunktarnir eru því:  svo skurðpunktarnir eru x = 3 eða x = -5/2

Samhverfuásinn er x = ¼ og þar sem stuðullinn A er pósitífur er þetta botnpunktur og armar fleygbogans snúa upp eins og bros.

Botnpunkturinn er (1/4,f(1/4)) þar sem f(1/4) = 2(1/4)2 – ¼ – 15 = 1/8 – ¼ – 15 = -15,25

Hnit botnpunktsins eru því (0,25; -15, 25)

Nú getum við tekið til viðbótar nokkur hnit á fleygboganum auk skurðpunkta við x – ás og botnpunkts. Gott er að taka tvö þrjú hnit sitt hvoru megin við samhverfuásinn til að geta teiknað fleygbogann:

Hér eru nokkur hnit á ferlinum sem notuð eru til að teikna feril fleygbogans sem sýndur er fyrir neðan töfluna.