Fjórða stigs margliður sem föll

Búum til fjórða stigs margliðu með þægilegum rótum og skoðum margliðuna sem fall og teiknum upp graf hennar og prófum svo að hliðra henni upp og niður í hnitakerfinu.

f(x) = (x -1)(x + 1)(x -2)(x + 2) = (x2 – 1)(x2 -4) = x4 – 5x2 + 4

Þetta fall hefur 4 rætur x = 1, x = -1, x = 2 og x = -2

Ef við hefðum fengið verkefnið teiknið fallið f(x) = x4 – 5x2 + 4 án þess að þekkja rætur fallsins þá gæti það mögulega tekið nokkurn tíma og vinnu að finna ræturnar. En horfum aðeins á margliðun og þá sjáum við að við erum bara með 4 veldi og annað veldi sem gefur okkur tækifæri til að skipta um breytistærð.

Ef við köllum x2 = t getum við auðveldlega þáttað annars stigs margliðuna t2 – 5t + 4 = (t – 1)(t – 4).

Þeir sem eru ekki mjög talnaglöggir geta reiknað út D og komist að sömu niðurstöðu.

D = 25 – 4∙1∙4 = 25 – 16 = 9 = 32

Rætur margliðunnar eru því t = (5 + 3)/2 = 4 eða t = (5 – 3)/2 = 1 svo að t2 – 5t + 4 = (t – 1)(t – 4).

Nú getum við aftur skipt um breytistærð og fengið að f(x) = (x2 – 1)(x2 – 4) = (x -1)(x + 1)(x -2)(x + 2).

Það getur verið hjálplegt til að skilja fjórða stigs margliður að búa þær til sjálfur með því að velja rætur, margfalda upp úr svigunum og teikna síðan fallið.

Nú reiknum við út nokkur gildi fyrir þessa margliðu og teiknum upp fallið.

Hliðrum nú þessu grafi bæði upp og niður

Bætum 25 við fallið f(x) og drögum síðan 25 frá fallinu f(x) og sjáum hvernig nýju föllin g(x) og h(x) líta út til samanburðar. Eins og sjá má sker ferillinn x – ás 4 sinnum í -2, -1, 1 og 2 eins og gera mátti ráð fyrir.

Appelsínuguli liturinn liggur allur fyrir ofan x – ás og margliðan hefur því engar rauntölu rætur

Grái ferlinni sker x – ás aðeins á tveimur stöðum og hefur því aðeins tvær rætur.

Takið eftir því að ferill fjórðastigs falls er symmetrískur og þessir ferlar eru með y – ás sem samhverfuás.

Ferillin gæti líka verið hliðraður og verið með einhvern annan samhverfuás.

Ástæða þess að ferlarnir eru með y – ás sem samhverfuás eru að rætur fallsins eru samhverfar um x – ás nefnilega + og – einn og + og mínus 2.

Prófum að teikna að búa til feril sem ekki er samhverfur um x – ás

Dæmi um slíkt gæti verið m(x) = (x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 4).

Þetta fall er með ræturnar x = -5, x = -1, x = 2 og x = 4

Hliðrum svo þessum ferli líka upp og niður um +25 og -25 og skoðum ferlana

n(x) = (x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 4) – 25 sem er m(x) hliðrað niður um 25 og

p(x) = (x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 4) + 25 sem er m(x) hliðrað upp um 25.

Dæmi um slíkt gæti verið m(x) = (x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 4).

Þetta fall er með ræturnar x = -5, x = -1, x = 2 og x = 4

Hliðrum svo þessum ferli líka upp og niður um +25 og -25 og skoðum ferlana

n(x) = (x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 4) – 25 sem er m(x) hliðrað niður um 25 og

p(x) = (x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 4) + 25 sem er m(x) hliðrað upp um 25.

Búum okkur til nokkur gildi til að teikna þessi föll og skoðum þau síðan á grafi.

Búum okkur til nokkur gildi til að teikna þessi föll og skoðum þau síðan á grafi.

Eins og sjá má þessum gröfum eru þrír hlykkir á þessum ferlum eins og symmetrísku ferlunum sem við skoðuðum í upphafi en af því að skurðpunktarnir eru ekki symmetrískir um neinn ás eru gröfin ekki symmetrísk.

Búðu til eigin fjórða stigs margliðum með rótum sem þú velur og prófaðu að teikna ferlana upp og hliðra þeim upp og niður svo þú fáir tilfinningu fyrir því hvernig þessir ferlar líta út.

Ef að það er – fyrir framan 4 stigs veldisliðinn þá hvolfast ferlarnir.

Skoðum slíka ferla

q(x) = -1∙(x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 4) og hliðrum honum síðan bæði upp og niður eins og fyrr og skoðum

r(x) = -1∙(x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 4) – 25

s(x) = -1∙(x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 4) – 25

Reiknum út nokkra punkta á þessum ferlum og teiknum þá upp í graf.

Eins og sjá má er búið að snúa gröfunum fyrir föllin m,n og p á hvolf.