Þriðja stigs margliður sem föll

Til þess að skilja föll fullkomlega er gagnlegt að búa þau hreinlega til sjálfur og skoða þau síðan eins og verkefni.

Búum okkur til þriðja stigs margliðu með þægilegum rótum. Veljum okkur ræturnar 1,5 og -3.

Margliðan verður því: 

(x – 1)(x + 3)(x – 5) = (x – 1)(x2 + 3x – 5x -15) = (x -1)( x2 – 2x -15)

= x3 – 2x2 – 15x – x2 + 2x + 15 = x3 – 3x2 – 13x + 15.

Dæmigert verkefni til að prófa þekkingu á þriðja stigs margliðu væri það verkefni að skoða fallið

f(x) = x3 – 3x2 – 13x + 15 og að teikna það inn í hnitakerfið.

Þar sem við bjuggum fallið til, vill svo heppilega til að við þekkjum rætur þess, þ.e.a.s. skurðpunktana við x – ás. Ef því væri ekki þannig farið yrðum við að leita að rótunum með prófunum og síðan skemmri deilingu.

Við skulum láta sem við vitum ekki hverjar ræturnar eru en prófa okkur áfram.

Við sjáum strax að f(0) = 15 svo x = 0 er ekki rót.

Prófum 1 og fáum f(1) = 1 – 3 – 13 + 15 = 16 – 16 = 0 (drögum saman jákvæðu og neikvæðu tölurnar)

Þá erum við búin að finna eina rót og vitum að (x -1) gengur upp í jöfnuna því (x -1) hefur rótina x =1.

Prófum:

Við sjáum því að f(x) = (x – 1)(x2 – 2x -15) og ef við erum góð í hugarreikningi sjáum við jafnframt að

f(x) = f(x) = (x – 1)(x – 5)(x + 3)

Þetta má auðveldlega sjá því aðeins margfeldin 1∙15 eða 3∙5 gefa 15 og aðeins 3 og 5 hafa mismuninn 2.

Síðan má að sjálfsögðu nota aðferð við lausn á annars stigs jöfnu með því að reikna

D = 4 – 4∙1∙(-15) = 64 = 82  (B2 – 4AC)

og sjá að ræturnar eru annað hvort

x = (2 + 8)/2 = 5 eða x = (2 – 8)/2 = -3         eða (-B ± D½)/2A

Þannig að við vitum að f(x) = (x – 1)(x – 5)(x + 3)

Nú erum við búin að fara heilan hring en eigum samt eftir að teikna upp fallið

f(x) = (x – 1)(x – 5)(x + 3)

Finnum nokkra punkta á þessu falli. Það er fljótlegra að reikna í huganum með því að stinga x gildi inn í fallið eftir að búið er að að þátta margliðuna eins og sjá má í töflunni þar sem hnitin eru reiknuð út. Vitum að ræturnar -3, 1 og 5 gefu y – hnit 0.

x

f(x) = (x – 1)(x – 5)(x + 3)

y

(-5)

(-6)∙(-2)∙(-10) = 12∙(-10)

(-120)

(-4)

(-5)∙(-9)∙(-1) = 45∙(-1)

(-45)

(-3)

0

0

(-2)

(-3)∙(-7)∙(1) = 21∙(1)

21

(-1)

(-2)∙(-6)∙(2) = 12∙(2)

24

0

(1)∙(-5)∙(3) = 5∙(3)

15

1

0

2

(1)∙(-3)∙(5)

15

3

2∙(-2)∙6

-24

4

3∙(-1)∙7

21

5

0

0

6

5∙1∙9

45

Teiknum nú grafið inn í hnitakerfi

Þriðja stigs margliður með neikvæðum hæsta lið (x3)

Allar þriðja stigs margliður hafa sama form, skoðum nokkur önnur dæmi.

Ef við breytum fallinu ögn með því að láta öftustu töluna í fallinu ekki vera 15, heldur annars vegar 200 og hins vegar – 200 fáum við feril sem er alveg eins í laginu en við höfum annars vegar hliðrað honum upp og hins vegar hliðrað honum niður.

Gefum þessum föllum ný nöfn:

g(x) = x3 – 3x2 – 13x + 200

h(x) = x3 – 3x2 – 13x – 200

Ræturnar (skurðpunktar við x – ás) eru ekki eins fallergar tölur og við völdum í upphaflega ferilinn til að hann yrði viðráðanlegur fyrir okkur.

Ferlarnir  g(x) og h(x) hafa aðeins einn skurðpunkt við x – ás og því aðeins eina rót. Ef við myndum finna þessar rætur og deila í margliðurnar myndi afgangurinn vera annars stigs jafna með D < 0 og þar með enga lausn.

Skoðum nú hvað gerist ef við margföldum allan ferilin f(x) = x3 – 3x2 – 13x + 15 með -1 og skoðum fallið

i(x) = -1∙(x3 – 3x2 – 13x + 15) = – x3 + 3x2 + 13x – 15

En við skulum líka margfalda föllin g(x) og h(x) með -1 og skoða föllin:

j(x) = – x3 + 3x2 + 13x – 200

k(x) = – x3 + 3x2 + 13x + 200

Þið getið æft ykkur í að búa til hnitatöflu en með því að skella þessu inn í Excel fæst auðveldlega fram eftirfarandi mynd:

Þessir ferlar hafa sama form en ferlarnir halla frá vinstri til hægri og þá er sagt að föllin sé minnkandi en ekki frá hægri til vinstri eins og áður en þá er sagt að föllin séu vaxandi.

Blái ferillinn i(x) hefur sömur rætur og f(x) er auðvelt að lesa skurðpunktana út af grafinu. Hinir ferlarnir j(x) og k(x) hafa aðeins einn skurðpunkt við x – ás eins og g(x) og h(x).

Allir ferlar sem byggja á þriðja stigs margliðu hafa eins form og einn til 3 skurðpunkta við x – ás.

Ef stuðullinn fyrir framan x3 er jákvæður er ferillinn vaxandi.

Ef stuðullinn fyrir framan x3 er neikvæður er ferlillinn minnkandi.

Þriðja stigs margliða með tvöfaldri rót

Skoðum nú ferilinn m(x) = x3 – 7x2 + 16x – 12

Sjáum strax að 0 er ekki rót.

m(1) = 1 – 7 + 16 – 12 = 17 – 19 = -2 þar með er líklegt að rótin sé ekki fjarri 1 að stærð.

m(2) = 8 – 28 + 32 – 12 = 40 – 40 = 0 svo að 2 er rót.

Deilum (x – 2) upp í margliðuna og fáum:

m(x) = (x – 2)(x2 – 5x + 6) það er góð auka æfing að deila sjálfur (x – 2) upp í margliðuna og sjá hvort þú færð ekki sömu útkomu.

Síðan er hægt að nota D og lausn fyrir annars stigs jöfnu til að leysa annars stigs margliðuna sem eftir er og þá fæst að:

m(x) = (x – 2)(x – 2)(x – 3)  þetta þýðir að 2 er tvöföld rót í margliðunni sem þá rétt kyssir x ás í 2 og sker hann síðan í 3.

Af því að stuðullinn fyrir framan þriðja veldis lið er pósitífur þá er ljóst að fallið er vaxandi (hallar upp á við). Við getum því séð fyrir okkur að ferillinn er neikvæður upp að x = 2, þá kyssir hann x – ás, sveigir aftur niður og fer svo upp í gegnum x – ás í x = 3.

Setjið upp töflu með gildum og sjáið hvort þið fáið ekki samskonar feril og sýndur er á næstu mynd.

Skoðum þennan feril aðeins betur í kringum ræturnar.

Hér sést vel þegar búið er að þysja inn á skurðpunktana að ferillinn rétt kyssir x – ás í tvöföldu rótinni og fer síðan í gegnum x – ás í einföldu rótinni x = 3.

Skoðum nú n(x) = -1∙m(x) = – x3 + 7x2 – 16x + 12

Miðað við það sem við þekkjum nú þegar varðandi fallið n(x) og fyrri skoðanir á ferlum þriðja stigs margliða, vitum við að ræturnar eru hinar sömu x = 2 og x = 3. Við vitum líka að ferlill fallsins er minnkandi, þ.e.a.s. hallar niður á við frá hægri til vinstri.

Tékkum fyrst af ræturnar n(2) = -8 + 28 – 32 + 12 = -40 + 40 = 0

m(3) = – 27 + 63 – 48 + 12 = – 75 + 75 = 0 svo það stemmir að ræturnar eru hinar sömu.

Æfðu þig að búa til hnit og teikna upp ferilinn.

Gáðu hvort þinn ferill lítur ekki út eins og þessi hér fyrir neðan.