Margliður, reiknireglur, deiling og skemmri deiling

Jafna línu á forminu f(x) = bx + c kallast línulegt fall og fall af gerðinni f(x) = ax2 + bx + c kallast annars stigs margliða ef a er ekki núll og línulegt fall er fyrsta stigs margliða ef stuðullinn b er ekki núll. Stig margliðunnar vísar til hæsta veldisvísis á óþekktu stærðinni x.

Almennt má setja fram skilgreiningu á margliðu af stigi n sem fall af gerðinni:

F(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 þar sem n er heil pósitíf tala og n er ekki núll og þar sem a0,a1,a2,…, an kallast stuðlar margliðunnar og ef an er ekki núll nefnist n stig margliðunnar.

Þar sem sú krafa er gerð til n að um sé að ræða heila pósitífa tölu teljast föllin f(x) = , f(x) = 1/x eða önnur föll með veldisvísum á óþekktri stærð sem er neikvæð tala eða ekki heil tala eru ekki margliður.

Hins vegar eru föllin:

f(x) = 3x5 + 4x2+ 2x – 1

g(x) = 7x6 – 5x3 + 4

h(x) = x4 – 1

öll margliður. Ekki er gerð krafa um að allir stuðlar margliðunnar séu ekki núll, hins vegar ákvarðar sá stuðull við óþekktu stærðina í n-ta veldi stig margliðunnar, þannig að f(x) er margliða a f stigi 5, g(x) er margliða af stigi 6 og h(x) er margliða af stigi 4.

Hægt er að leggja saman margliður, finna mismun á tveimur margliðum, margfalda saman margliður og einnig er hægt að deila einni margliðu upp í aðra.

Dæmi 1

Skoðum margliðurnar f(x) = 3x5 + 3x3 +  4x2+ 2x – 1 og g(x) = 7x6 + x4 – 5x3 + 4

Leggjum þær síðan saman og finnum mismun á þeim:

f(x) + g(x) = 3x5 + 3x3 +  4x2+ 2x – 1 + 7x6 + x4 – 5x3 + 4 = 7x6 + 3x5+ x4 – 2x3 +  4x2 + 2x + 3

f(x) – g(x) = 3x5 + 3x3 +  4x2+ 2x – 1 – 7x6 – x4 + 5x3 – 4 = -7x6 + 3x5 – x4 + 8x3 +  4x2 + 2x – 5

Skoðum nú margfeldi tveggja margliða h(x) = 2x – 5 og k(x) = (2x2 – 2x – 15)

h(x)k(x) = (2x – 5) (2x2 – 2x – 15) = 4x3 – 4x2 – 30x – 10x2 + 20x + 75 = 4x3 – 14x2 – 10x + 75

Einnig er hægt að deila h(x) upp í k(x), það er yfirleitt gert með sambærilegum hætti og þegar um deilingu með tölum er að ræða:

Ef deilt er með fyrsta stigs margliðu á forminu (x – a) upp í margliðu af hærra stigi og deilingin gengur upp. Þá er a rót í marglinunni af hærra stiginu.

Dæmi 2

Deilum (x – 1) upp í annars stigs margliðun f(x) = 3x2 + x – 4

Dæmi 3

Skoðum margliðuna f(x) = x3 – 7x + 6

Til að kanna hvort hægt er að þátta margliðu sem þessa og finna rætur hennar verður maður fyrst að prófa sig áfram.

Nokkuð augljóst er að 1 er rót í jöfnunni x3 – 7x + 6 þar sem f(1) = 1 – 7 + 6 = 0

Ef við deilum (x – 1) upp í jöfnuna ætti sú deiling því að ganga upp:

Eins og við vissum er x = 1 rót í f(x) = (x – 1)(x2 + x – 6) = (x -1)g(x) þar sem g(x) = x2 + x – 6

Annars stigs margliðuna gætum við síðan þáttað með þekktum aðferðum eða haldið áfram að prófa.

Könnum til dæmis hvort 2 er rót í g(x) =  x2 + x – 6 með því að skoða  g(2) = 4 +2 – 6 = 0  svo x = 2 er einnig rót í f(x), deilum (x – 2) upp í x2 + x – 6 og fáum:

Það má því skrifa g(x) = (x + 3)(x – 2) og þar sem f(x) = (x – 1)g(x) = (x -1) (x + 3)(x – 2)

Rætur þriðja stigs margliðunnar f(x) = x3 – 7x + 6 eru því x = 1, x = -3 og x = 2.

Önnur leið til að deila með fyrsta stigs margliðu  upp í aðra margliðu að sama stigi eða hærra, er að nota það sem kallað er skemmri deiling. Sú aðferð gengur út á það að nota stuðla margliðunnar sem deila á í og rót fyrsta stigs margliðunnar sem á að deila með.

Dæmi 4

Dæmi 5

Notum skemmri deilingu til að deila x – 3 upp í fallið x4 – 2x3 – 10x + 3

Hér vantar stuðul við x2 sem ekki má gleymast í skemmri deilingunni en hann er þá 0.

Ef deila á x – 3 með skemmri deilingu notum við rótina fyrir x – 3 = 0 ó x = 3.

Eins og áður byrjum við á að taka stuðulinn við hæsta veldið beint niður fyrir strik.

Margföldum hann með 3 og setjum upp fyrir strik  og leggjum 3 við -2 og fáum 1 fyrir neðan strik. Margföldum 1 með 3  og færum upp fyrir strik og leggjum 3 við 0 og fáum 3 fyrir neðan strik. Marföldum síðan 3 aftur með 3 og fáum 9 fyrir ofan strik  og leggjum það við -10 og fáum -1 fyrir neðan strik.

Að lokum margföldum við -1 með þremur og leggjum við 3 og fáum fyrir neðan strik 0 sem sýnir fram á að deilingin gengur upp og að 3 er rót í margliðunni. Fáum því að fallið má skrifa sem

f(x) = (x – 3)(x3 + x2 + 3x -1).