Þriðja stigs margliður – Æfing 1 – Lausnir

  1. f(x) = x3 + 5x2 – 46x + 40
  2. g(x) = – x3 – 2x2 + 4x + 8
  3. h(x) = x3 – 9x
  4. i(x) = 21x – 20 – x3

Ef við skoðum formerki á þriðja stigs lið margliðunnar þá er hann jákvæður fyrir f(x) og h(x) og þau föll eru því vaxandi. Þriðja stigs liðurinn í margliðum g(x) og i(x) er neikvæður og föllin því minnkandi. Það má ekki láta það rugla sig að þriðja stigs liðurinn í i(x) er aftast. Það er ekki fremsta talan sem ræður heldur stuðullinn við x í þriðja veldi sem er -1 fyrir i(x).

Nú finnum við rætur fallanna.

  1. Skoðum x3 + 5x2 – 46x + 40 núll er augljóslega ekki lausn en prófum 1.

f(1) = 1 + 5 – 46 + 40 = 0 svo 1 er rót í margliðunni.

Deilum (x – 1) upp í margliðuna og fáum:

Þá er x3 + 5x2 – 46x + 40 = (x – 1)( x2 + 6x – 40  )

Þáttum annars stigs margliðuna og sjáum að D = 36 – 4∙1∙(-40) = 196 =142

Rætur annars stigs margliðunnar eru því x = (-6 + 14)/2 = 4 eða x = (-6 – 14)/2 = 10

Margliðan hefur því 3 rætur x = 1, x = 4 og x = 10.

f(x) = (x – 1)(x – 4)(x – 10)

2. Skoðum g(x) = – x3 – 2x2 + 4x + 8

0 er augljóslega ekki rót, prófum 1 og fáum g(1) = -1 – 2 + 4 + 8 = -3 + 12 = 9

Prófum 2 og fáum g(2) = -8 – 8 + 8 + 8 = -16 + 16 = 0

Svo x = 2 er rót.

Deilum (x – 2) upp í margliðuna og fáum:

3. Skoðum h(x) = x3 – 9x

Hér er 0 augljóslega rót þar sem h(0) = 0 – 0 = 0

Tökum x út fyrir sviga og fáum h(x) = x(x2 – 9)

Hér er nokkuð augljóst að 3 og -3 eru rætur í annars stigs margliðunni en það má sannreyna með því að reikna D og finna ræturnar eins og í fyrr dæmum.

Rætur þessa falls eru því x = 0, x = 3 og x = -3.

h(x) = x(x – 3)(x + 3)

4. Skoðum i(x) = – x3 + 21 x – 20

Hér er 0 augljóslega ekki rót, prófum 1 og fáum i(1) = -1 + 21 – 20 = 0 svo x = 1 er rót.

Deilum (x – 1) upp í margliðuna og fáum:

Getum því skrifað i(x) sem i(x) = (x – 1)(- x2 – x + 20)

Tökum -1 út fyrir sviga og fáum að i(x) = -1(x – 1)( x2 + x – 20)

Við sjáum að margfeldi af 4 og 5 er 20 og að mismunrinn er einn, þannig að -5 og 4 eru rætur í annars stigs margliðunni. Það má sannreyna með því að reikna D og ræturnar.

Við getum því skrifað i(x) = -1(x – 1)(x – 4)(x + 5).

Finnum nú nokkur gildi fyrir öll föllin og teiknum upp gröfin og gáum hvort þau eru ekki einmitt vaxandi eða minnkandi eins og þau eiga að vera miðað við formerkið á þriðja stigs liðnum.

Teiknum nú upp ferlana sem næst rótum þeirra þannig að formið sjáist vel og hvort þeir eru vaxandi eða minnkandi.

Eins og sjá má á grafinu eru f(x) og h(x) vaxandi eins og við mátti búast en g(x) og i(x) eru minnkandi enda með neikvæðu formerki fyrir framan þriðja stigs liðinn.

Einnig má sjá hvernig g(x) með sinni tvöföldu rót í x = -2 rétt sest á x – ás í -2 nær síðan hámarki og er minnkandi eftir það.