Hlutmengi

Mengi A er sagt vera eiginlegt hlutmengi í mengi B ef sérhvert stak í A er líka stak í B. Þetta er táknað með A ⊂ B lesið sem:  A er hlutmengi í B”.  Þetta má einnig tákna myndrænt með svokallaðri Venn-mynd.

Venn-mynd af menginu A sem er hlutmengi í menginu B

Ef öll stök A eru líka öll stökin í B, er A og B sama mengið og þá er A ekki eiginlegt hlutmengi í B heldur er A = B lesið sem: „mengið A” er sama mengið og mengið B“, það má líka tákna sem A⊆B „mengið A er sama mengið og mengið B“.

Sýnidæmi 1

Konur eru eiginlegt hlutmengi í menginu Mannkynið, þar sem konur eru hluti af mannkyninu en mannkynið er ekki eingöngu konur svo mengið Konur og mengið Mannkynið eru ekki sama mengið.

Venn-mynd af menginu Mannkynið sem inniheldur hlutmengið Konur

Að sjálfsögðu er mengið Karlmenn einnig eiginlegt hlutmengi af menginu Mannkynið

Venn-mynd af menginu Mannkynið sem inniheldur hlutmengið Karlmenn

Sýnidæmi 2

Mengið A = {3,4,5} er hlutmengi í menginu B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} eða A⊂B, því sérhvert stak í A er líka stak í menginu B. A er eiginlegt hlutmengi í B þar sem stökin eru ekki öll þau sömu í báðum mengjum.

Venn-mynd sem sýnir mengið A og hvernig það er eiginlegt hlutmengi af menginu B

Sýnidæmi 3

Mengið A = {2,3,4,5} er ekki eiginlegt hlutmengi í menginu B = {2,3,4,5} þar sem öll stökin í A eru þau sömu og öll stökin í B, er í raun um sama mengið að ræða svo A⊆B eða A=B.

Venn-mynd sem sýnir mengið A og hvernig það er ekki eiginlegt hlutmengi af menginu B þar sem engin stök eru í B sem eru ekki líka í A

Sýnidæmi 4

Til þess að skilja betur hvað hlutmengi er getum við aftur hugsað okkur mannkynið sem mengi og skipt því upp í konur og karla, sem hvort tveggja eru hlutmengi í menginu Mannkynið. Konur og Karlar eru vel skilgreindir eiginleikar hvors hlutmengis um sig. Hvoru hlutmengi mætti síðan skipta upp í fleiri hlutmengi, þannig gætu ljóshærðar konur og dökkhærðar konur myndað tvö mismunandi hlutmengi í stóra menginu yfir konur.

Sýnidæmi 5

Skoðum mengið S = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26…} sem er mengi sléttra pósitífra talna og er hlutmengi í Náttúrulegum tölum S⊂N.

 

Venn-mynd sem sýnir hlutmengið S í mengi Náttúrulegra talna N

Mengið A = {2,4,6,8,10,12,14,16} er síðan hlutmengi í menginu S, þessu má lýsa með því að segja A⊂S⊂N. Táknið ⊂ þýðir að mengið sem er vinstra megin við táknið sé hlutmengi í menginu sem er hægra megin við táknið.

Venn-mynd sem sýnir hlutmengið A í menginu S