Yrðingar – Æfing 4 – Lausnir

  1. Kannið hvort A = {1,2} sé hlutmengi í menginu B = {x|x4 – x3 – x2 – 5x + 6 = 0}

Prófum að stinga tölunni 1 inn í jöfnuna og fáum:

14 – 13 – 12 – 5·1 + 6 = 1 – 1 – 1 – 5 + 6 = 0 svo talan 1 uppfyllir skilyrði opnu yrðingarinnar fyrir mengi B.

Prófum að stinga tölunni 2 inn í jöfnuna og fáum:

24 – 23 – 22 – 5·2 + 6 = 16 – 8 – 4 – 10 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 svo talan 2 uppfyllir einnig skilyrði opnu yrðingarinnar fyrir mengi B.

Þar sem bæði stök mengisins A eru stök í menginu B er A hlutmengi í B.

  1. Kannið hvort A = {1,2} sé hlutmengi í menginu B = {x|x4 – x3 – x2 – 5x + 7 = 0}

Með því að stinga tölunum 1 og 2 inn í margliðuna í dæminu á sama hátt og í lið f sést að niðurstaðan er ekki 0 svo að nú er A ekki hlutmengi í B.

  1. Kannið fyrir hvaða stök í menginu A = {-3,-2,-1,0,1,2,3} yrðingin p(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 er sönn.

Skoðum

p(-3) = (-3)3 – 2(-3)2 – 5(-3) + 6 = -27 – 18 + 15 + 6 = -27 +3 = -24 => ósönn

p(-2) = (-2)3 – 2(-2)2 – 5(-2) + 6 = -8 -8 +10 +6 = -16 + 16 = 0 => sönn

p(-1) = (-1)3 – 2(-1)2 – 5(-1) + 6 = -1 – 2 + 5 + 6 = 8 => ósönn

p(0) = 6 => ósönn

p(1) = (1)3 – 2(1)2 – 5(1) + 6 = 1 – 2 – 5 + 6 = 0 => sönn

p(2) = (2)3 – 2(2)2 – 5(2) + 6 = 8 – 8 – 10 + 6 = -4 = > ósönn

p(3) = (3)3 – 2(3)2 – 5(3) + 6 = 27 – 18 – 15 + 6 = 9 -9 = 0 => sönn

  1. Listið upp stök mengisins sem lýsa má með opnu yrðingunni:

{x ∈ S | x er oddatala þar sem -5 < x < 7 },

– 5 og 7 eru ekki með en allar aðrar oddatölur á bilinu frá -5 til 7, þ.e.a.s.

S = {-3,-1,1,3,5}

  1. Listið upp stök mengisins sem lýsa má með opnu yrðingunni: {x ∈ S | x gengur upp í 42}, tölurnar 1,2,3,6,7,13,21,42 ganga upp í tölunni 42 svo S = {1,2,3,6,7,13,21,42}