Yrðingar

Yrðing er staðhæfing, sem er annað hvort sönn eða ósönn.

Yrðingin allt mannkynið er konur er ósönn yrðing en yrðingin konur eru hluti af mannkyninu er sönn. Yrðingar eru yfirleitt táknaðar með litlum bókstöfum í stærðfræðinni eins og p,q eða r.

Fullyrðingar eins og allar súpur eru góðar er ekki yrðing því þessi fullyrðing er hvorki sönn né ósönn þar sem þetta er smekksatriði og verður hvorki sannað né afsannað.

Fullyrðingin landslið Íslands í fótbolta tryggði sér í fyrsta skipti sæti á Heimsmeistarakeppninni í fótbolta haustið 2017 er sönn yrðing, þar sem þetta er staðreynd.

Fullyrðingin víkingaklappið er flottasta leið í heimi til að fagna landsliði, er hvorki sönn né ósönn, því það verður aldrei sannað þó að sumum kunni að finnast það. þetta er því ekki yrðing

Sýnidæmi 1

Hvað af eftirfarandi staðhæfingum/fullyrðingum er yrðing í skilningi stærðfræðinnarp: allar síðhærðar manneskjur eru konur

  1. p: allar síðhærðar manneskjur eru konur
  2. q: allir strákar elska fótbolta
  3. r: allar stelpur sem elska fótbolta eru sætari en aðrar stelpur
  4. t: jörðin snýst um sólina
  5. u: Saltfiskur með súkkulaðisósu er besti matur í heimi
  6. v: tunglið er aldrei fullt

Staðhæfingarnar p,q,t og v eru yrðingar í skilningi stærðfræðinnar.

Forsendur þess að p,q,t og v eru yrðingar í skilningi stærðfræðinnar eru að það er hægt að sanna að þær eru annað hvort sannar eða ósannar.

p er ósönn yrðing því það eru til síðhærðir karlmenn

(Ljósmynd: https://theidleman.com/manual/mens-hair/5-best-hairstyles-long-hair/ janúar 2018)

q er líka ósönn yrðing því það elska ekki allir strákar fótbolta

(Ljósmynd http://edition.cnn.com/2017/03/22/health/uconn-basketball-auriemma-video-youth-sports-parenting/index.html janúar 2018)

t er sönn yrðing því það er löngu sannað að jörðin snýst um sólina en ekki öfugt

(Ljósmynd: https://sciencing.com/earth-rotates-around-sun-8501366.html janúar 2018)

v er ósönn yrðing því tunglið er reglulega fullt eins og flestir vita

(Ljósmynd http://metro.co.uk/2018/01/06/full-moon-calendar-2018-7208986/ janúar 2018)

Staðhæfingar r og u eru hins vegar ekki yrðingar í skilningi stærðfræðinnar því það verður hvorki sannað né afsanna að stelpur sem elska fótbolta séu sætari en aðrar stelpur eða að saltfiskur með súkkulaðisósu sé besti matur í heimi.

(Ljósmyndir: http://www.walesonline.co.uk/news/local-news/huge-rise-girls-playing-football-10136591,

http://www.visirhf.is/is/afurdir/saltfiskur og https://www.pinterest.com/pin/624593042041081533/  janúar 2018)

Staðhæfingar r og u eru því ekki yrðingar í skilningi stærðfræðinnar.

Sýnidæmi 2

Um Venn-myndina af mengjunum, Mannkyninu = M, Karla = Ka, Konur = Ko, Ljóshærðar konur = LK og Dökkhærðar konur = DK mætti staðhæfa eftirfarandi (setja fram eftirfarandi yrðingar):

Ko⊂M : Konur eru hlutmengi af mannkyninu

Ka⊂M : Karlar eru hlutmengi af mannkyninu

LK⊂Ka : Ljóshærðar konur eru hlutmengi af konum

LK⊂M : Ljóshærðar konur eru hlutmengi af mannkyninu

DK⊂Ka : Dökkhærðar konur eru hlutmengi af konum

DK⊂M : Dökkhærðar konur eru hlutmengi af mannkyninu

Venn-mynd af nokkrum hugsanlegum hlutmengjum mengisins Mannkynið

Opin yrðing

Staðhæfing sem inniheldur eina eða fleiri óþekkta stærð er kölluð opin yrðing og er slík yrðing táknuð með litlum bókstaf eins og yrðingar almennt og er óþekkta stærðin eða stærðirnar hafðar inni í sviga fyrir aftan bókstafinn.

Mengjum má einnig lýsa á forminu: {x∈Z∣ p(x)}, þar sem p(x) lýsir eiginleikum stakanna í menginu.

Til þess að segja að um sé að ræða stak í menginu S mætti lýsa því með því að segja

{x∈S∣ x er slétt pósitíf tala}

Þessa yrðingu mætti lesa sem:

Mengi þeirra óþekktu staka x sem eru stök í menginu S þar sem x er slétt pósitíf tala.

Opin yrðing með jafnaðarmerki kallast jafna en ef hún inniheldur táknin kallast yrðingin ójafna.

Sýnidæmi 3

Fyrrgreindum hlutmengjum yfir mannkynið mætti þá lýsa sem

Konur = {x∈Mannkyn∣ þar sem x er kona}

Karlar = {x∈Mannkyn∣ þar sem x er karl}

Ljóshærðar konur = {x∈ Konur ∣ þar sem x er ljóshærð kona} eða

LK = {x∈M∣ þar sem x er ljóshærð kona}

Dökkhærðar konur = {x∈Konur ∣ þar sem x er dökkhærð kona} eða

Dökkhærðar konur = {x∈Mannkyn∣ þar sem x er dökkhærð kona}

Sýnidæmi 4

Hugsum okkur opna yrðingu, hugsum okkur hlutmengi úr menginu

A = {2,4,6,8,10,12,14,16} og köllum það D = {8,10,12,14,16} þessu mengi mætti lýsa með því að segja {x∈A∣ x er slétt pósitíf tala þar sem 8 ≤ x ≤ 16} sem maður les sem mengi þeirra staka x sem eru hlutmengi í menginu A þar sem x er slétt pósitíf tala á bilinu frá 8 til og með 16.

Venn-mynd sem sýnir hlutmengið D í menginu A

Sýnidæmi 5

Hægt er að lýsa saman hlutnum á margvíslegan hátt.

Ef um er að ræða stak í mengi náttúrulegra talna N = {0,1,2,3,4,…} sem er mengi heilla pósitífra talna og núll, en núll á ekki að vera með, mætti lýsa með með opnu yrðingunni:

{x∈N∣ x heil pósitíf tala} og lesa sem: „mengi þeirra staka þar sem x er stak í náttúrulegum tölum, þar sem x er heil pósitíf tala”.

{x∈N∣ x > 0} þetta mætti lesa sem:  „mengi þeirra staka x þar sem x er stak í náttúrulegum tölum og x er stærra en núll”.

Þetta mætti líka setja fram með því að segja að  {x∈N∣ x ≠ 0} og lesa  sem:  „mengi þeirra staka x, þar sem x er stak í náttúrulegum tölum en x er ekki núll”.