Til hvers notar maður hnitakerfið?

Hnitakerfið er notað til þess að lýsa margvíslegum fyrirbærum í heimi raunvísinda og viðskipta. Stakir punktar geta verið mæligildi í rannsóknum sem raða sér upp í mynstur sem síðan er hægt að túlka á stærðfræðilegan hátt. Stundum raðar punktasafn í mælingum sér upp á þann hátt að það líkist línu í hnitakerfinu og þá hefur rannsóknin leitt í ljós línulegt samhengi milli stærðanna sem búið er að raða inn í hnitakerfið sem punktum.

Hvað kostar að eiga og reka bíl og hvernig lýsum við því í hnitakerfi?

Það má til dæmis hugsa sér að stilla upp í hnitakerfi reksturskostnaði bíls sem jöfnu línu, þar sem líftími bifreiðar í árum er á x – ás og kostnaðurinn er á y – ás. Í stærðfræðilegum skilningi er þetta ekki lína þar sem aldur bifreiðarinnar verður aldrei neikvæður og kostnaðurinn ekki heldur því það myndi þýða að við græddum á því að eiga og reka bíl.

Reksturskostnaðurinn er ekki heldur geisli (óendanleg í eina átt) þar sem bíllin á sér ekki óendanlegan líftíma við viljum mögulega ekki einu sinni eiga bílinn þar til hann er ónýtur. Í reynd er reksturskostnaður bíls yfir líftíma hans strik sem á sér upphaf þegar bíllinn er keytpur (aldur = 0) og enda þegar hann er seldur. Strikið liggur hins vegar á línu sem hægt er að lýsa. Strikið sem um ræðir  er í fyrsta fjórðungi hnitakerfisins.

Við skulum hugsa okkur að bíllinn sem við ætlum að kaupa sé með 7 ára ábyrgð og að við höfum hugsað okkur að selja bílinn þegar hann verður 7 ára. Til einföldurnar skulum líka hugsa okkur að allt viðhald sé innifalið í ábyrgðinni svo framarlega sem maður fer með hann í árlega skoðun sem kostar 50.000 krónur á ári.

Við verðum að ábyrgðartryggja bílinn og við veljum að kaskótryggja hann líka og kostnaðurinn við þetta er metinn vera 150.000 kr./ári.  Við keyrum bílinn 15.000 km/ ári, bíllinn er sparneytinn og eyðir 5 lítrum á hverja 100 km og verð á eldsneyti er 200 kr./líter.  Á ári eyðir bíllinn

15.000 km/ári ∙ 5 lítrar/100 km =150 ∙ 5 l/ári = 750 lítrar/ári

Eldsneytið kostar því á ársgrundvelli: 750 lítrar/ári ∙ 200 kr./ líter = 150.000 kr.

Heildar rekstrarkostnaður á ári er því:

150.000 kr (tryggingar) + 50.000 kr. (viðhald) + 150.000 kr. (eldsneyti) = 350.000 kr./ári

Nú höfum við ekki tekið tillit til þess að við þurfum í upphafi að kaupa bílinn. Við skulum gefa okkur að hann kosti í upphafi 2.500.000 kr. og að eftir 7 ár getum við selt hann á 400.000 kr. Til einföldunar tökum við ekki tillit til vaxtakostnaðar eða verðbólgu og segjum að mismuninum á kaup- og söluverði getum við dreift jafnt yfir 7 ára tímabil sem afskriftir á rekstri bílsins eða: (2.500.0000 kr. – 400.000 kr.) / 7ár= 2.100.0000 kr. / 7 ár = 300.000 kr./ári.

Kostnaður við að eiga þennan tiltekna bíl er því summan af rekstrarkostnaði og afskriftum eða: 350.000 kr./ári + 300.000 kr./ári = 650.000 kr./ári.

Einingarnar kr./ ári eru einingarnar á y – ás og x – ás. Við getum lýst þessum kostnaði með jöfnunni:

K = 650.000 kr. ∙ A þar sem K er kostnaður og A eru ár.

Reiknum út nokkra punkta á þessari línu til þess að geta teiknað hana í hnitakerfið:

A [ár] K [kr.]
0 0 kr.
1 650.000 kr.
3 1.950.000 kr.
7 4.550.000 kr.

 

Við erum að gera ráð fyrir því að við kaupin á bílnum sé enginn kostnaður til fallinn nema af kaupunum verði. Kostnaðurinn er að líkindum ekki 0 kr. ef við kaupum bílinn og seljum hann strax aftur.

Þar sem líftími bílsins getur ekki verið neikvæður og við ætlum aðeins að horfa á kostnað fyrir 7 ára tímabil er í reynd verið að tala um jöfnu línunnar K = 650.000 kr. ∙ A fyrir formengið:

{A │0 ár ≤ A ≤ 7 ár}

og varpmengið:

{K │0 ≤ K ≤ 4.550.000}.

Eftir eitt ár í rekstri er bíllinn búinn að kosta eiganda sinn 650.000 kr. og  heildar kostnaður við að eiga bílin í 7 ár er 4.550.000 kr.

Við skulum teikna þetta dæmi upp í hnitakerfi.