Ræðar tölur, rauntölur og óræðar tölur

Ræðar tölur

Ræðar tölur eru tölur sem tákna má sem hlutfall tveggja heilla talna, þar sem seinni talan er ekki núll, þessar tölur má því með öðrum orðum rita sem almenn brot. Mengi allra ræðra talna er táknað með stafnum Q. Dæmi um ræðar tölur eru:

Mengi pósitífra ræðra talna er táknað með Q+ og mengi neikvæðra ræðra talna er táknað með Q.

Talnalína sem sýnir mengi pósitífra og negatífra ræðra talna úr menginu A á talnalínunni þar sem A = {-21/2,-19/2,-17/2,…17/2,19/2,21/2}

Rauntölur

Rauntala er tala sem hægt er að nota til að mæla lengd striks. Sérhver rauntala er annað hvort jákvæða eða neikvæð fyrir utan töluna núll sem er hvorki jákvæð né neikvæð. Mengi eða safn rauntalna er táknað með R og mengi pósitífra rauntalna er táknað með R+ og mengi neikvæðra rauntalna er táknað með R.

Hugsum okkur talnalínu sem er safn allra rauntalna og hver einasti óendanlega smár punktur á talnalínunni samsvarar fjarlægð punktsins frá upphafspunkti talnalínunnar sem svarar til tölunnar 0. Pósitífar rauntölur eru á hálflínu sem er hægra megin við upphafspunktinn núll og neikvæðar rauntölur eru vinstra megin við upphafspunktinn 0. Formerkin + og – segja því til um stefnuna frá upphafspunktinum 0.

Óræðar tölur

Það eru til punktar á talnalínunni sem ekki er hægt að tákna með almennum brotum og þessar tölur kallast óræðar tölur. Mengi óræðra talna eru allar rauntölur að frádregnum ræðum tölum. Rauntölur sem eru ekki ræðar tölur kallast óræðar tölur. Mengi óræðra talna er mengjamismunurinn á R og Q táknað R\Q.

Sýnidæmi 1

Dæmi um óræðar tölur er til dæmis talan π og  hliðarlengdin á langhlið í rétthyrndum þríhyrningi með skammhliðar 1. Við vitum að langhliðin í þríhyrningnum er af endanlegri stærð þó að hana sé ekki hægt að tákna með almennu broti. Hugsum okkur að við leggjum rétthyrndan þríhyrning með skammhliðar að lengd 1 á talnalínu með annan endann á langhliðinni við núllpunkt talnalínunnar þá blasir við að langhliðin er vel rúmlega 1 á lengd en það er ekki tala sem við getum lesið nákvæmlega af talnalínunni eða táknað með almennum brotum.

Langhlið í rétthyrndum þríhyrningi með skammhliðar að lengd 1 lögð á talnalínuna

Töluna π má nálga með almenna brotinu 22/7 en það er ekki nákvæmt nema upp á fyrstu tvo aukastafina.

Hliðarlengdin í rétthyrnda þríhyrningnum er √2.

Sýnidæmi 2

Skoðum nú í samhengi við mengjafræði og Venn-myndir talnamengi rauntalna R í samhengi við Náttúrulegar tölur, heilar tölur og ræðar tölur.

Mengi Rauntalna og hlutmengin ræðar tölur, heilar tölur, náttúrulegar tölur og óræðar tölur R\Q sem er blái flöturinn sem ekki tilheyrir Q,Z eða N en er hluti af Menginu R sem inniheldur öll hin mengin.

Allar náttúrulegar tölur N eru heilar tölur og eru því hlutmengi í mengi heilla talna Z. Allar heilar tölur er hægt að tákna sem ræðar tölur, t.d. má tákna 2 sem 4/2 og allar ræðar tölur eru rauntölur. Óræðar tölur eru hins vegar ekki hlutmengi í N,Z eða Q og þær eru því sjálfstætt hlutmengi í mengi rauntalna, allt sem er eftir þegar búið er að afmarka Q eða R\Q.