Jafna línu

Skoðum hvernig lýsa má jöfnu línu sem liggur í gegnum upphafspunkt hnitakerfisins (0,0) en við viljum ekki að hún sé lárétt eða lóðrétt.

Ef við hugsum okkur að stika út línu með því að velja punktana (0,0), (1,1), (2,2) o.s.fv. sjáum við að þegar við stækkum x um 1 þá stækkar y hnitið líka um einn og að y hnitið er það sama og x hnitið svo slíkri línu mætti lýsa með því að segja y = x eða y = 1∙x.

Ef við viljum teikna línu inn í kerfið sem hallar meira uppá við, gætum við stikað hana út með því að velja punktana (0,0), (1,2), (2,4), (3,6) o.s.fv.  Í hvert sinn sem við stækkum x um 1 þá stækkar y tvöfalt meira.  Þessu getum við lýst með því að segja y = 2∙x.

Stuðullinn sem lýsir samhenginu milli x og y er kallaður hallatala (h) og almennt má lýsa jöfnu línu sem liggur í gegnum upphafspunkt hnitakerfisins með jöfnunni y = hx.

Skoðum nú mynd af nokkrum línum sem liggja í gegnum upphafspunkt hnitakerfisins með mismunandi hallatölur.

Eins og sjá má af myndinni halla línur með pósitífa hallatölur til hægri en þær sem eru með neikvæða hallatölu halla til vinstir. Línur með stóra halla tölu eru brattari en þær sem eru með litla hallatölu.

Við sjáum hvernig línurnar y = x og y = -x mynda x í gegnum hnitakerfið (ljósblá lína og brún lína).

Línur með hallatölu stærri en einn liggja fyrir ofan línuna y = x í fyrsta fjórðungi hnitakerfisins en fyrir neðan hana í þriðja fjórðungi.

Línur með hallatölu minni en 1 liggja fyrir neðan línuna y = x í fyrsta fjórðungi en fyrir ofan hana í þriðja fjórðungi.

Línur sem skera ásana ekki í upphafspunkti

Skoðum línur sem lýsa má með jöfnunni : y = hx + k 

Þessi jafna er almennt kölluð jafna línu, h er hallatala línunnar og k er skurðpunktur línunnar við y – ás

Munurinn á y = hx + k og y = hx er sá að búið er að bæta tölunni k við alla punkta á línunni y = hx.

Ef k er pósitíf tala þá lyftist línan hx upp og ef k er neikvæð tala færist línan neðar í hnitakerfinu.

Skoðum þetta í því tilfelli að h = 1, þ.e.a.s. y = x + k og prófum að breyta gildinu á k og skoðum niðurstöðuna á mynd.

Samsíða línur

Um leið og stuðlinum k er bætt við myndast tveir skurðpunktar milli línanna og ása hnitakerfisins. Einn skurðupunktur verður til við x – ás og annar við y – ás.

Skurpunktinn við x – ás finnum við með því að setja y = 0 inn í jöfnu línunar og skurðpunktinn við y – ás finnum við með því að setja x = 0.

Allar línurnar y = x + k eru með hallatöluna 1 og eru því samsíða.

Það gildir um allar línur sem eru með sömu hallatölu að þær eru samsíða.

Sýnidæmi

Finnum jöfnu línu sem hefur hallatölu 3 og liggur um punktinn (-1, 2).

Úr því að línan hefur hallatölu 3,  er jafna hennar y = 3x + k.

Þar sem punkturinn (-1,2) á að liggja á línunni stingum við hnitunum inn í jöfnuna og fáum

2 = -3 + k sem gefur að k = 5 ef við færum -3 yfir jafnaðarmerkið.

Jafna þessarar línu er því y = 3x + 5.

Hallatala línu

Ef þekktir eru tveir punktar á línu (x1,y1) og (x2,y2) má finna hallatölu línunnar h sem:

h = (y2 – y1) / (x2 – x1)

Þetta má auðveldlega sýna fram á þar sem báðir punktarnir uppfylla jöfnu línu y = hx + k

Þ.e.a.s. y1= hx1 + k og y2 = hx2 + k.

Ef við skoðum mismuninn á þessum jöfnum og drögum fyrri jöfnuna frá þeirri seinni fáum við að

y2 – y1 = hx2 + k – (hx1 + k) eða y2 – y1 = hx2 + k – hx1 – k sem jafngildir því að y2 – y1 = hx2 – hx1 og að

(y2 – y1) = h(x2 – x1) sem gefur að h = (y2 – y1) / (x2 – x1).

 

Sýnidæmi

Finnum jöfnu línu í gegnum punktana (-5,8) og (3,-8).

Reiknum fyrst út hallatölu línunnar h = (-8 -8)/(3-(-5)) = -16/8 = -2.

Síðan getum við notað annan hvorn punktinn til að finna k í jöfnunni y = -2x + k

Notum (-5,8) og fáum 8 = -2(-5) + k eða 8 = 10 + k svo k = -2.

Jafna línunnar er því: y = -2x – 2

Við getum prófað niðurstöðuna með því að stinga x = 3 inn í jöfnuna og fáum y = -2(3) -2 = -6 – 2 = -8.

 

Sýnidæmi

Skoðum mengið

M = {(x,y) │6x + 2y = 8}

ef glöggt er skoðað lýsir mengið jöfnu línu þar sem hægt er að einangra y í jöfnunni

6x + 2y = 8 og fá að 2y = -6x + 8 eða

y = -3x + 4.

Þar sem aðeins þarf að finna tvo punkta á línunni til þess að hægt sé að teikna hana má velja sér þægileg gildi á x eins og 0 og 2

Ef þessum x gildum er stungið inn í jöfnu línunnar fáum að punktarnir (0,4) og (2,-2) eru á línunni, þar sem y = 4 þegar x = 0 og y = -2 ef x = 2.

Þar með er auðvelt að teikna línuna upp í hnitakerfið.

Horfum nú aðeins á myndina af línunni og tökum eftir því að ásar hnitakerfisins og línan afmarka þríhyrning.

Við getum reiknað út flatarmál þessa þríhyrnings ef við finnum skurðpunkt línunnar við x – ás.

Skurðpunktur línu við x – ás hefur y – hnit 0.

Skurðpunktur við x ás er því fundinn með því að setja y = 0 inn í jöfnu línunnar og þá fáum við að

0 = – 3x + 4 eða x = 4/3.

Flatarmál gulmerkta þríhyrningsins F er því margfeldi af grunnlínunni (4/3) og hæð þríhyrningsins (4) deilt með tveimur.

F = 4∙(4/3)/2 = 8/3 eða u.þ.b. 2,7

Einnig má reikna langhliðina í þríhyrningnum út frá lengdum skammhliðanna og fæst þá að langhliðin l = (42 + (4/3)2)1/2  sem er u.þ.b. 4,2