Veldi og rætur efni

Veldi

Heil veldi

Ef við látum a vera rauntölu og n vera náttúrulega tölu sem er stærri eða sama sem 1, þá getum við hafið a í n-ta veldi með því að margfalda töluna a við sjálfa sig n sinnum.

Þannig er a í 2 veldi a·a = a2 og a í þriðja veldi er a·a·a = a3 og almennt er a í veldinu n an = a a·a·a·…·a (n sinnum). Talan a kallast veldisstofn og n kallast veldisvísir.

Sýniæmi 1

34 = 3·3·3·3 = 9·3·3 = 27·3 = 81

53 = 5·5·5·5·5 = 25·5·5·5 = 125·5·5 = 625·5  = 3.125

Hægt er að útvíkka fyrrgreinda skilgreiningu með því að leyfa veldisvísinum að vera heila tölu og þar með bæði heila pósitífa tölu, heila neikvæða tölu og núll.

Þá þarf að skilgreina veldisvísinn 0. Allar tölur nema núll, sem hafnar eru í veldið núll gefa niðurstöðuna 1. Þ.e.a.s

an = 1 ef n = 0 ef a er ekki núll.

Ef veldisvísirinn n :

Sýnidæmi 2

Rauntöluveldi

Þegar a er jákvæð rauntala má síðan útvíkka skilgreiningarnar á heilum veldum þannig að hægt sé að hefja veldisstofninn a í veldi af ræðum tölum r.

Veldisvísirinn verður þannig almennt brot á forminu r = p/q:

Þannig verður

Þessa reglu má síðan útvíkka fyrir öll a > 0 þannig að veldisvísirinn geti verið hvaða rauntala sem er.

Sýnidæmi 3

Þessa reglu má síðan útvíkka fyrir öll a > 0 þannig að veldisvísirinn geti verið hvaða rauntala sem er.

Rætur

Ef a er pósitíf rauntala hefur jafnan xn = a eina jákvæða lausn og lausnin  kallast n-ta rótin af a

Veldareglur

Fimm reglur gilda um veldareikning

  1. ax+yv= ax⋅ay
  2. axy= axa-y = ax/ay ef   a≠0
  3. (ax)y = axy
  4. (a⋅b)x = ax⋅bx
  5. (a/b)x = ax/bx ef b≠0

Jafnframt er rétt að benda á að þessar reglur þýða jafnframt að:

Sýnidæmi 4