Stofnföll – heildun – tegrun – námsefni

Stofnföll

Að finna stofnföll er að finna fallið sem diffrað er verður að fallinu f(x).

Við táknum stofnföll með stórum bókstaf.

Fallið f(x) = 2x hefur stofnfallið F(x) = x2. Þetta getum við auðveldlega sannað með því að diffra stofnfallið F(x) og sjáum í hendi okkar að F´(x) = 2x.

Við getum stillt upp nokkrum stofnföllum út frá diffurreglunum okkar.

  1. Ef f(x) = x3 er stofnfallið F(x) = 1/4x4 getum sannreynt með því að diffra: F´(x) = 4∙(1/4)x3 = x3
  2. Ef f(x) = 1 er F(x) = x því F‘(x) = 1
  3. Ef f(x) = 1/x2 = x-2  sem gefur stofnfallið F(x) = -x-1 = -1/x því F‘(x) = x-2  = 1/x2
  4. Ef f(x) = cos(x) er F(x) = sin(x) því F´(x) = cos(x)
  5. Ef f(x) = – sin(x) er F(x) = cos(x) því F´(x) = -sin(x)

 Þar sem afleiðan af fast er alltaf 0 geta öll föll haft margvísleg stofnföll, þ.e.a.s. hægt er að bæta ótölulegum fjölda fasta við stofnföllin og afleiðan yrði samt sú sama.

Það má eiginlega hugsa sér stofnfallið sem form á ferli í hnitakerfinu og það er hægt að lyfta þessum ferli upp eða láta hann síga niður eftir y – ás hnitakerfisins með því að að bæta við fasta k.

Til dæmis hefur fallið f(x) = 2x stofnföllin F(x) = x2 + k því afleiðan er alltaf sú sama F´(x) = 2x alveg sama hvaða gildi k tekur.

Afleiðan segir til um halla stofnfallsins og fleygboginn er ávallt eins í laginu, hvar svo sem útgildið er staðsettur miðað við x – ásinn.

Reiknum út nokkur gildi fyrir fleygbogann fyrir nokkur mismunandi gildi á k og skoðum í hnitakerfi

xF(x) = x2F(x) = x2 + 2F(x) = x2 + 4F(x) = x2 – 2F(x) = x2 – 4
-52527292321
-41618201412
-39111375
-246820
-1135-1-3
0024-2-4
1135-1-3
246820
39111375
41618201412
52527292321

Hér höfum við valið gildin: 2, 4, -2 og – 4 fyrir k

Eins og við var að búast er form fleygboganna og þar með hallatalan alltaf hin sama fyrir mismunandi gildi á x en mismunurinn liggur í því hvar útgildi ferilsins er miðað við y – ás.

Stofnföll segja okkur til um lögun ferilsins sem búið er að diffra en ekki nákvæmlega hvar hann liggur í hnitakerfinu miðað við y -ás. Til þess að finna nákvæmlega eitt stofnfall þurfum við að vita meira, við þurfum að fá upplýsingar um einn punkt á ferlinum.

Til er stærðfræði tákmál fyrir það að finna mengi allra fallanna sem hafa ákveðna afleiðu f(x). Þessi aðgerð að finna öll stofnföllin er gjarnan kölluð að tegra eða heilda:

Dæmi 1

Tegrum fallið

f(x) = 4x3 + 3x2 – 2x + 1 + 3/x4

Fyrir veldisföllin má hugsa tegrunina þannig að við hækkum veldisvísinn um einn á hverjum lið og deilum síðan með honum.

Getum diffrað niðurstöðun og sjáum þá að við höfum fundið rétta stofnfallið.

Nú skulum við finna stofnfallið fyrir þann feril sem fer í gegnum punktinn (1,5)

Þ.e.a.s. F(1) = 5

F(1) = 1 + 1 – 1 + 1 + k gefur 2 + k = 5 sem þýðir að k = 3.

Reiknireglur fyrir tegrun

Samsett veldisföll

Ef að innra fall samsettra falla er jafna línu á forminu ax + b þá er stofnfall samsetta veldisfallsins

Dæmi 2

Getum almennt breytt rótum undir striki í sviga í neikvæðu veldi fyrir ofan strik skoðum:

Samsett hornaföll

Skoðum einnig þegar hornaföll eru samsett og innifela jöfju línu þegar hornið er í radíönum:

Dæmi 4

Ákveðin tegur

Ákveðin tegur hafa ákveðið gildi og eru reiknuð á ákveðnu bili a til b. Þau gefa í raun flatarmálið undir ferlinum á milli hans og x ás á ákveðnu bili.

Hornklofinn utan um stofnfallið með gildum bilsins uppi og niðri er áminning um næsta skref sem er að reikna gildi stofnfallsins í b og a og finna mismuninn eins og sýnt er í síðasta skrefinu.

Dæmi 5

Skoðum þetta myndrænt og berum saman við fyrri þekkingu. Gildi fallsins í x = 5 er 5 og formið sem afmarkst á bilinu 0 til 5 er þríhyrningur.

Flatarmál rétthyrnds þríhyrnings eru jú eins og annarra þríhyrninga, grunnlína sinnum hæð deilt með 2. Hér er bæði grunnlína og hæð af lengdinni 5 svo að flatarmálið er F = 25/2. Það að ákveðna heildið gefi flatarmálið undir þessum ferli stemmir.

Hugsum okkur að við ætlum að meta flatarmálið undir óreglulega ferlinum á myndinni hér fyrir ofan. Ein leið til að gera það væri að skipta fletinum milli ferilsins og fallsins í óendanlega marger smáar ræmur og eins og rétthyrningana sem sýndir eru á myndinni og leggja saman flatarmál þeirra allra. Það gæfi okkur ágætis mat á flatarmálinu undir ferlinum. Eftir því sem við hefðum þessar ræmur mjórri og fleiri þeim mun nákvæmara yrði matið. Það er það sem við erum að gera með ákveðnu tegri eða með því að reikna mismun á stofnfalli í endapunktum bils.

Þetta getum við gert fyrir hvaða feril sem er, en það er ekki alltaf jafnauðvelt að staðfesta niðurstöðuna eins og fyrir jöfnu línu sem ávallt myndar þríhyrning milli sín og x – ás.

Ef við teljum alla heilu reitina undir fleygboganum fyrir ofan x – ás þá sjáum við að þeir eru 5 sitt hvoru megin við y ás (auðkenndir með bláu) eða í allt með flatarmálið 10. Síðan má með góðu móti meta fletina sem eftir er sem u.þ.b. með flatarmál 4 sitt hvoru megin, þannig að það er vel hægt að samþykkja að flatarmálið undir fleygboganum á bilinu frá -3 til 3 sé 18.  Gulmerktu reitirnir gefa u.þ.b. flatarmál 2, sama gildir u.þ.b. fyrir rauðmerktu reitina, grænmerktu og þá sem þá eru eftir eða samtals 8.

Rúmtegur

Skoðum aðeins nánar fallið f(x) = x og flatarmál þess.

Hugsum okkur nú að við tökum þennan feril og snúum honum í heilan hring í kringum x – ás.

Með því móti teiknum við keilu í þrívíðu rúmi.

Reynum að sjá þessa keilu fyrir okkur sem samansafn af sífellt stærri og stærri örþunnum sneiðum af hringjum.

Við vitum hvernig við reiknum flatarmál hrings, það er F = r2  í tilfellinu þar sem við snúum fallinu f(x) um x – ás er radíusin fyrir hverja sneið gildi fallsins f(x) í þeirri sneið.